Ecuación de ondas. Grupo Eau De Parfum(EDP)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación de Ondas. Grupo Eau De Parfum (EDP)
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Lestau Torres, Pablo López Rojo, Celia Muñoz Guijarro, Sofía
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

3 Conocimientos previos

En esta sección se van a describir algunos conceptos a tener en cuenta durante todo el trabajo.

-Principio de Huygens: Afirma que cada punto en un frente de onda actúa como una fuente de ondas secundarias que se propagan hacia adelante con la misma velocidad que la propia onda. Estas ondas secundarias se combinan para formar un nuevo frente de onda, que es tangente a todas las ondas secundarias. Es decir, cada punto del frente de onda original puede considerarse como un punto de partida para nuevas ondas que se mueven en la misma dirección que la perturbación inicial. Estas ondas secundarias tienen la misma velocidad y frecuencia que la onda original.

4 Ecuación de ondas I

Estamos considerando una cuerda vibrante que se extiende en el intervalo [0,1], con una densidad [math]d[/math] y una tensión constante [math]\tau_0[/math], lo que resulta en una velocidad de propagación [math]c=\frac{\tau_0}{d}=1[/math]. Además suponemos que la cuerda está fija en los extremos y llamamos [math]u_0(x)[/math] y [math]u_1(x)[/math] a su posición e impulso iniciales respectivamente.

El sistema de ecuaciones que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda es:

[math] \left\{ \begin{aligned} &u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) & 0 \lt x \lt 1, t \gt 0, \\ &u(0, t) = u(1, t)=0, & t \gt 0, \\ &u(x, 0) =u_0(x), & t \gt 0, \\ &u_t(x, 0) = u_1(x), \end{aligned} \right. [/math]

La solución general de la ecuación de ondas empleando separación de variables se puede expresar en términos de la serie de Fourier de las condiciones iniciales [math]u_0(x)[/math], [math]u_1(x)[/math]. La solución tiene la forma

[math]u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} [A_n \cos(n\pi t)+B_n \sin(n \pi t)]sin(n \pi x) [/math]

Donde los coeficientes [math]A_n[/math] y [math]B_n[/math] se determinan a partir de las condiciones iniciales [math]u_0(x)[/math], [math]u_1(x)[/math].Por lo que la solución completa de a ecuación de ondas para la cuerda vibrante con las condiciones iniciales dadas es:

[math]u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}[ (2\int_{0}^{1} u_0(x) \sin(n \pi x) dx) \cos(n \pi t) + (\frac{2}{n\pi} \int_{0}^{1} u_0(x) \sin(n \pi x) dx)\sin(n\pi t)] \sin(n\pi x)[/math]

4.1 Cambiando datos iniciales

Para resolver este problema, primero debemos calcular los coeficientes de Fourier [math] A_n [/math] y [math] B_n [/math] usando los datos iniciales [math] u_0(x)=e^{-100(x-1/2)^2} [/math] y [math] u_1(x)=0 [/math]. Luego, usaremos estos coeficientes para construir la solución aproximada [math] u(x,t) [/math] tomando los primeros 50 términos de la serie.

Los coeficientes de Fourier son:

[math] A_n = 2 \int_0^1 u_0(x) \sin(n \pi x) \, dx = 2 \int_0^1 e^{-100(x-1/2)^2} \sin(n \pi x) \, dx. [/math]

[math] B_n = \frac{2}{n \pi} \int_0^1 u_1(x) \sin(n \pi x) \, dx = 0 \quad (\text{porque } u_1(x) = 0). [/math]

Por lo tanto, la solución se simplifica a:

[math] u(x,t) = \sum_{n=1}^{50} A_n \cos(n \pi t) \sin(n \pi x)=\sum_{n=1}^{50}[2 \int_0^1 u_0(x) \sin(n \pi x) \, dx cos(n \pi t)] \sin(n \pi x) . [/math]

GRÁFICAAAAAAS

La gráfica revela la periodicidad en el tiempo de la solución [math]u(x,t) [/math]. La función claramente repite su patrón a medida que [math] t [/math] varía, confirmando que la solución es periódica en el tiempo con un período fundamental de 2. Este período corresponde al término más lento [math] n=1 [/math], ya que [math]\cos(\pi t)[/math] tiene un período de 2.

La periodicidad observada es consistente con la naturaleza periódica de las funciones seno y coseno involucradas en la solución de la ecuación de la cuerda vibrante.

4.2 Onda en un solo sentido

Veamos ahora lo que ocurre cuando estudiamos una onda que viaja en un solo sentido, es decir, [math] u(x, t) = f (x − t)[/math], que particularizaremos tomando como datos iniciales [math]u_0(x) = f(x)[/math] y [math]u_1(x) = -f'(x)[/math], con [math]f(x)=e^{-100(x-1/2)^2}[/math].Su solución viene dada mediante el método de separación de variables en términos de los coeficientes de Fourier:

[math] A_n = 2 \int_0^1 u_0(x) \sin(n \pi x) \, dx = 2 \int_0^1 e^{-100(x-1/2)^2} \sin(n \pi x) \, dx. [/math]

[math] B_n = \frac{2}{n \pi} \int_0^1 u_1(x) \sin(n \pi x) \, dx =\frac{2}{n \pi} \int_0^1 -(-200(x-1/2)e^{-100(x-1/2)^2})\sin(n \pi x) \, dx . [/math]

Por lo que la solución completa de la ecuación de ondas para la cuerda vibrante con las condiciones iniciales dadas es:

[math]u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}[ ( 2 \int_0^1 e^{-100(x-1/2)^2} \sin(n \pi x) \, dx) \cos(n \pi t) + (\frac{2}{n \pi} \int_0^1 -(-200(x-1/2)e^{-100(x-1/2)^2})\sin(n \pi x) \, dx)\sin(n\pi t)] \sin(n\pi x)[/math]

5 Ecuación de ondas II

Para resolver la integral de la función \( u(x,t) \) en coordenadas polares, primero necesitamos reformular la integral en términos de coordenadas polares. La integral original es:

\( u(x,t) = \int_{\mathbb{R}^2} K_2(x-y, t) h(y) \, dy. \)

En coordenadas polares, donde \( x = (r_x \cos \theta_x, r_x \sin \theta_x) \) y \( y = (r_y \cos \theta_y, r_y \sin \theta_y) \), la integral se transforma usando el jacobiano de la transformación polar \( r \, dr \, d\theta \):

\( u(r_x, t) = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} K_2(r, t, c) h(r \cos(\theta)) r \, dr \, d\theta, \)

donde

\( r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2 - 2r_x r_y \cos(\theta)}. \)

5.1 Pasos para Transformar la Integral

1. Transformación de Coordenadas:

• Elemento de lista de viñetas: Cambiar las coordenadas cartesianas \( (x,y) \) a coordenadas polares \( (r, \theta) \).
• Las coordenadas \( x \) y \( y \) en polares se expresan como \( x = (r_x \cos \theta_x, r_x \sin \theta_x) \) y \( y = (r_y \cos \theta_y, r_y \sin \theta_y) \).

2. Calcular el Jacobiano:

• La transformación a coordenadas polares introduce un factor adicional \( r \) en el diferencial del área, es decir, \( dx \, dy = r \, dr \, d\theta \).

3. Reformular la Integral:

• Sustituir las variables y el jacobiano en la integral original: \( u(r_x, t) = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} K_2(r, t, c) h(r \cos(\theta)) r \, dr \, d\theta. \)

4. Expresar \( r \):

• Expresar la distancia \( r \) en términos de \( r_x \) y \( r_y \): \( r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2 - 2r_x r_y \cos(\theta)}. \)

Esta reformulación permite evaluar la integral original en coordenadas polares, facilitando el cálculo en situaciones donde la simetría radial simplifica la solución.