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1 Ecuación de Poisson

En esta parte del documento se va a proceder a resolver la ecuación de Poisson mediante un nuevo método. En primer lugar, esta ecuación viene dada por [math] \Delta u = f [/math] siendo [math]u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math]y [math] f \in C^2(\mathbb{R})[/math]. Para este estudio se particularizará para n=2 y n=3.

Se comenzará definiendo la solución fundamental de esta ecuación, pues se utilizará posteriormente para calcular el potencial newtoniano o logarítimico. Esta viene dada por [math] \phi(x) = -\frac{1}{2\pi} log(|x|) [/math] si n=2 y [math] \phi(x) = \frac{1}{4\pi |x| } [/math] si n=3.

1.1 Potencial newtoniano

Supongamos que [math] f(x) [/math] representa la densidad de una carga contenida en un conjunto compacto dentro del espacio tridimensional [math] \mathbb{R}^n[/math].

Entonces, la expresión [math] \phi(x-y)f(y)dy[/math] denota el potencial en el punto x. De esta manera el potencial total viene dado por la siguiente expresión:

[math] u(\mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{y}) \phi(\mathbf{x} - \mathbf{y}) d\mathbf{y} [/math]

Esta fórmula se conoce como potencial Newtoniano de f y se aplica sobre funciones que en el infinito tienden de manera rápida a cero.