ECUACION LOGÍSTICA

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo ABMR
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Arturo Barrena y Mario Ríos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 . Introducción

Las ecuaciones de Laplace y Poisson son fundamentales en el campo de la física matemática y la ingeniería, especialmente en el estudio de fenómenos de difusión, electrostática y flujo de calor. Ambas ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que describen el comportamiento de campos escalares en un dominio dado. La ecuación de Laplace representa un caso especial de la ecuación de Poisson, donde la función fuente es cero.

La ecuación de Laplace se expresa matemáticamente como: [math]\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}= 0[/math]

Donde $\phi$ es el campo escalar y $\nabla^2$ es el operador Laplaciano.

Por otro lado, la ecuación de Poisson se formula como: [math]\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}= f[/math]

Donde f es una función fuente que puede representar, por ejemplo, densidad de carga, densidad de masa o fuentes térmicas.

2 . Ej 4

En esta sección nos centraremos en el problema:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \Delta u=0, x\in B_1,\\ u=g, x\in \partial B_1, \\ \end{array} \right. [/math]

donde [math]B_1[/math] es la bola unidad centrada en [math](0,0)[/math].

2.4 .Apart 4

La desigualdad de Harnack establece que para una función armónica u donde [math] u \req 0 [/math] en un dominio [math]\ D \subset \mathbb{R}^n[/math].Suponemos [math] B_{R}(z)\subset D[/math]. Entonces:

                 [math] \frac{R^{n-2} (R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(x_0)\leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}  (R+r)}{(R-r)^{n-1}}u(x_0)[/math]

De acuerdo con el enunciado debemos hallar el mínimo de la función g(x,y)=xy en la frontera de la bola unidad [math] \partial B_1 [/math], si expresamos la función en coordenadas polares tenemos [math] g(\theta)=R^{2}cos(\theta)sen(\theta)[/math], de modo que:

[math] min(g(x,y)) = min(g(\theta))= min\{R^{2}cos(\theta)sen(\theta)\}= - \frac{1}{2} [/math]

siendo [math] U(r,\theta)=\frac{r^2}{2R^2}sin(2\theta) [/math] la solución al problema en [math] B_R [/math], y definiendo la función v como v=u -M y sustituyendo el valor del mínimo obtenido tenemos:

                                            [math] v = u -M = u + \frac{1}{2} [/math]

Sobre v aplicaremos la desigualdad de Harnack, teniendo en cuenta que el valor de la función [math] U(r, \theta) [/math] en (0,0) es 0 tendremos que [math] v(0,0)= \frac{1}{2} [/math] y sustituyendo obtenemos:

     [math]\frac{R^{n-2} (R-r)}{2(R+r)^{n-1}} \leq v(x) \leq \frac{R^{n-2}  (R+r)}{2(R-r)^{n-1}}[/math] con [math] r \in [0,1) [/math]

Por último representamos la región donde quedarán comprendidas estas funciones a partir de la expresión anterior.