Ecuación del calor (Grupo 5)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier.
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Alfredo de Lorenzo, Hugo Sanz, Manuel Fdez.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

2 Ecuación del Calor en dimensión [math]n=1[/math]

2.1 Definición

Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo [math][0,L] [/math] y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor sólo se produce en la dirección longitudinal. Inicialmente se planteará el problema de manera que la temperatura inicial de la varilla es [math]u1(x)[/math]. En el extremo izquierdo se establece una temperatura [math]u2(t)[/math] y en el extremos derecho [math]u3(t)[/math]. Dado esto, a partir del principio de conservación de la energía, y la Ley de Fourier, se plantea el problema de EDP que modeliza el comportamiento de la temperatura.

[math] \begin{cases} u_{t} - \frac{k}{c}u_{xx} = 0 & \text{con x} \in [0,L], t\gt0 \\ u(0,t)= u2(t) & t\gt0 \\ u(L,t)= u3(t) & t\gt0 \\ u(x,0)= u1(t) & \text{con x} \in [0,L] \\ \end{cases}[/math]

Donde la función [math]u(x,t)[/math] depende del espacio y del tiempo; donde [math]k[/math] es la conductividad térmica y [math]c[/math] el calor específico.

Este problema se ha planteado con condiciones frontera de Dirichlet.

2.2 Ejemplo

A continuación, se estudiará el comportamiento de este problema a partir de un caso particular.

Se considerará el intervalo [math][0,1] [/math], temperatura inicial de la varilla de 0º, y en los extremos, izquierdo y derecho, 0º y 1º respectivamente.

Además, se considerará que tanto la conductividad térmica, [math]k[/math], como el calor específico [math]c[/math] son 1. Entonces se plantea el siguiente problema a modelizar.

[math] \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 & \text{con x} \in [0,1], t\gt0 \\ u(0,t)= 0 & t\gt0 \\ u(1,t)= 1 & t\gt0 \\ u(x,0)= 0 & \text{con x} \in [0,1] \\ \end{cases} [/math]

Una vez definido el problema, vamos a resolverlo para así observar su comportamiento.

Para resolver esta EDP, en primer lugar se deben tener las condiciones frontera homogeneizadas, de manera que, [math] u(0,t)= 0, u(1,t)= 0 [/math]. Por tanto, en primer lugar debemos estudiar la solución estacionaria del problema. Para ello, supondremos que [math]{t \to \infty} [/math], en dicho caso, [math] u_{t} \approx 0[/math] y [math] u(x,t) \approx v(x)[/math].

[math] \begin{cases} - v''(x) = 0 & \text{con x} \in [0,1] \\ v(0) \approx u(0,t)= 0 & \text{cuando }{ t\to \infty} \\ v(1) \approx u(1,t)= 1 & \text{cuando } {t \to \infty} \\ \end{cases} [/math]

Se obtiene entonces una EDO homogénea de orden 2, cuya solución es la siguiente.

[math] v(x)=x \text{ con x} \in [0,1] [/math]

A continuación, se muestra el código utilizado para representar la gráfica de la solución estacionaria, y la respectiva gráfica. ç

Representación de la solución estacionaria

%Definimos la solución estacionaria.
v=@(x) x;
%definimos el intervalo donde vamos a representar la solución. 
x=linspace(0,1,1000);

%Comando para representar la solución en R^2.
hold on 
plot(x, v(x), 'b-')
xlabel('x');
ylabel('v(x)');
title('Solución extacionaria.');
grid on; 
hold off

Posterioremente se utilizará el método de separación de variables, a partir del cual, se obtiene la solución de a siguiente EDP, donde se ha realizado el cambio [math] w(x,t)=v(x) - u(x,t)[/math]

[math] \begin{cases} w_{t} - w_{xx} = 0 & \text{con x} \in [0,1], t\gt0 \\ w(0,t)= 0 & t\gt0 \\ w(1,t)= 0 & t\gt0 \\ w(x,0)= x & \text{con x} \in [0,1] \\ \end{cases} [/math]

Una vez aplicado el método, obtenemos la siguiente solución de [math] w(x,t)[/math].

[math] w(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k \pi} (-1)^{k+1} e^{-k^{2}\pi^{2} t} sen(k \pi x) [/math]

3 Ecuación del Calor en diferentes dimensiones

En este apartado, se verá que aspecto toma la función solución del calor en diferentes dimensiones y diferentes condiciones.

3.1 Solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1

La solución fundamental del calor en una dimensión es la siguiente:

[math] u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{\frac{-x^2}{4t}}[/math]

Se representará para [math] x \in [-1,1], t\in [10^{-2},1] [/math]

% Definimos el recinto en el que vamos a representar la función
[X, T] = meshgrid(-1:0.05:1, 10^(-2):0.05:1);
%Definimos la solución fundamental del calor en una dimensión
u= 1./sqrt(2*pi*T).*exp(-X.^(2)./(4*T));
% Graficamos la función
figure;
surf(X, T, u);
title('Gráfico de la función');
xlabel('X');
ylabel('T');
zlabel('u(x,t)');

Considerando las siguientes condiciones iniciales y frontera:

ecuaci´on del calor en una dimensi´on en el semiespacio x > 0 con la condici´on inicial u(x, 0) = 0 y la condici´on frontera u(0, t) = 1. ...

3.2 Solución de la ecuación del calor en diferentes situaciones

En el siguiente caso, se considera:

[math] \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 & \text{con x} \in \mathbb{R}, t\gt0 \\ u(x)_{0} = 1_{[-1,1]} & \end{cases}[/math]

La solución, viene dada por la convolución respecto la solución fundamental del calor y la condición inicial, es decir,

[math] u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{\frac{-(x-y)^2}{4t}} u(y)_{0} dy [/math]

Se debe notar que la función anterior aplicada a la condición inicial, en este caso resulta

[math] u(x,t) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{\frac{-(x-y)^2}{4t}} dy [/math]

Para obtener una mayor visión de dicha solución, se representará en diferentes instantes de tiempo, [math] t \in (0.001, 0.01, 0.1) [/math] y en el espacio [math] x \in [-1,1] [/math]

Solución en diferentes instantes de tiempo

clc
clear 
format long
close all

t_vector = [0.001, 0.01, 0.1]; % Parámetros de t
X= -1:10^(-3):1; %Intervalo para representar
Y= -1:10^(-3):1; %Intervalo para integración
[fila,columna]= size(X);

%Hacemos el bucle para los 3 valores de t
for j=1:3
    t= t_vector(j);
    F = ones(size(X));
    for i=1:columna
        %Definimos cada elemento dado por la solución
        F(i) = F(i)* 1/sqrt(4 * pi * t) * trapz(Y,exp(-(X(i)-Y).^2 ./ (4*t)));
    end
    %Graficamos la función
    subplot(1,3,j);
    plot(X,F);
    xlabel('x');
    ylabel('u(x,t)');
    title(['t = ',num2str(t)]);
end

Por otro lado, la solución del calor en dimensión [math] 2[/math] es la siguiente:

[math] u(x,y,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{\frac{-x^2-y^2}{4t}} [/math]

De igual forma, se representará la solución para instantes de tiempo [math] t \in (0.001, 0.01, 0.1) [/math], y para [math] (x,y) \in [-1,1]\times[-1,1] [/math]

Solución en diferentes instantes de tiempo

clc
clear 
format long
close all

% Definimos el recinto en el que vamos a representar la función
[X1, X2] = meshgrid(-1:0.05:1, -1:0.05:1);
% Definimos el vector de tiempos
t_vector=[0.001,0.01,0.1];
%Preparamos la representación
tiledlayout(1,3);
%Hacemos un bucle para los tiempos
for i=1:3
t= t_vector(i);
%Definimos la solución fundamental del calor en dos dimensiones
u= 1./sqrt(2*pi*t).*exp((-X1.^(2)-X2.^(2))./(4*t));
%Graficamos la solución
nexttile
surf(X1, X2, u);
title(['t = ',num2str(t)]);
xlabel('X');
ylabel('X');
zlabel('u(x,t)');
end

En la gráfica se puede observas como la solución se hace más estrecha a menor [math] t[/math]. Esto se debe a que la solución no está definida para [math] t=0 [/math] y, por ello, tiende a estrecharse.