Ejercicio 2: Circuitos eléctricos RL

1 Introducción

El circuito eléctrico RL más simple está formado por una resistencia,un inductor o bobina y una fuente de alimentación conectados en serie.

• En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

 [math]i(t)={V(t)\over R}[/math]

• En un inductor L la Ley de Faraday dice:

[math] V(t)=L {di\over dt}(t)[/math]

Donde i(t)es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia de la bobina.

Las leyes de Kirchoff dicen:

1. Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
2. Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.

2 Apartado 1

Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda de la figura 1 cuando está cerrado:

[math] E(t)=R i(t)+ L {di\over dt}(t) [/math]

3 Circuito 1

La ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda de la figura 1 cuando está cerrado es:

[math] E(t)=R i(t)+ L {di\over dt}(t) [/math]

La intensidad en cada instante de tiempo t>0 se obtendrá resolviendo la ecuación diferencial.Suponiendo que en el instante t=0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado y usando los siguientes valores:

[math] E(t)=10V, L=0.2H , R=5Ω [/math].

Tendremos que:

[math] 5i + 0.2 i' = 10 [/math]

Al resolverla, obtenemos la siguiente intensidad: [math] i(t)=2-2e^{-25t} [/math]

Y la gráfica resultante es la siguiente:

• Ecuación diferencial resuelta numéricamente con el método de Euler

t0=0; tN=0.5;
h=(tN-t0)/50;
y0=0;N=50;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N
    yy=yy+h*(50-25*yy);
    y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-');

El paso de discretización temporal (h) ha de ser muy pequeño para que el método sea estable. Aproximadamente h=1/100

• Ecuación diferencial resuelta numéricamente con el método del Trapecio

t0=0;tN=0.5;
y0=0;
N=50;h=(tN-t0)/N;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=(yy+h*(50-12.5*yy))/(1+12.5*h);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-')

4 Apartado 3

Suponiendo que el circuito en el instante t=0 está cerrado con una intensidad [math] i(t)=2 A [/math] , y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica.

Se nos esta planteando un problema de Cauchy: [math] 5i+0.2i'=0 [/math] :[math]i(0)=0 [/math]

Al resolver este problema de valor inicial obtenemos que la intensidad en cada instante de tiempo viene definido por la función [math] i(t)=2e^{-25t} [/math] Por lo tanto, podemos interpretar que a medida que avanza el tiempo, desde que abrimos el circuito la corriente tenderá exponencialmente a anularse como se puede apreciar en el siguiente gráfico:

Archivo:Graf3M

centro

5 Apartado 4

El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 1:

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_2 {d \over dt}i_2(t)+R_2i_2(t)[/math]:

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_1 {d\over dt}i_3 (t)[/math]:

[math] i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)[/math]

centro

Reescribimos el sistema anterior eliminando [math] i_1 (t)[/math] usando la tercera ecuación, dejando el sistema en función de [math] i_2 (t) , i_3(t) [/math]. Obtenemos así:

[math] E(t)=R_1 [ i_2(t)+i_3(t) ]+L_2{d \over dt}i_2(t)+R_2i_2(t)[/math]:

[math] E(t)=R_1[ i_2(t)+i_3(t) ]+L_1{d\over dt}i_3 (t) [/math]