Ecuación del calor (Grupo 5)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier.
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Alfredo de Lorenzo, Hugo Sanz, Manuel Fdez.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

2 Ecuación del Calor en dimensión [math]n=1[/math]

2.1 Definición

Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo [math][0,L] [/math] y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor sólo se produce en la dirección longitudinal. Inicialmente se planteará el problema de manera que la temperatura inicial de la varilla es [math]u1(x)[/math]. En el extremo izquierdo se establece una temperatura [math]u2(t)[/math] y en el extremos derecho [math]u3(t)[/math]. Dado esto, a partir del principio de conservación de la energía, y la Ley de Fourier, se plantea el problema de EDP que modeliza el comportamiento de la temperatura.

[math] \begin{cases} u_{t} - \frac{k}{c}u_{xx} = 0 & \text{con x} \in [0,L], t\gt0 \\ u(0,t)= u2(t) & t\gt0 \\ u(L,t)= u3(t) & t\gt0 \\ u(x,0)= u1(t) & \text{con x} \in [0,L] \\ \end{cases}[/math]

Donde la función [math]u(x,t)[/math] depende del espacio y del tiempo; donde [math]k[/math] es la conductividad térmica y [math]c[/math] el calor específico.

Este problema se ha planteado con condiciones frontera de Dirichlet.

2.2 Ejemplo

A continuación, se estudiará el comportamiento de este problema a partir de un caso particular.

Se considerará el intervalo [math][0,1] [/math], temperatura inicial de la varilla de 0º, y en los extremos, izquierdo y derecho, 0º y 1º respectivamente.

Además, se considerará que tanto la conductividad térmica, [math]k[/math], como el calor específico [math]c[/math] son 1. Entonces se plantea el siguiente problema a modelizar.

[math] \label{eq:nombre_ecuacion} \text{ \begin{cases} u_{t} - u_{xx} = 0 & \text{con x} \in [0,1], t\gt0 \\ u(0,t)= 0 & t\gt0 \\ u(L,t)= 1 & t\gt0 \\ u(x,0)= 0 & \text{con x} \in [0,1] \\ \end{cases} }[/math]

Una vez definido el problema, vamos a resolverlo para así observar su comportamiento. Para la resolución de este problema utilizaremos el método de separación de variables.

Texto del enlace

3 Ecuación del Calor en diferentes dimensiones

En este apartado, se verá que aspecto toma la función solución del calor en diferentes dimensiones.

La solución fundamental del calor en una dimensión es la siguiente:

[math] u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{\frac{-x^2}{4t}}[/math]

Se representará para [math] x\quad€ [-1,1], t€ [10^{-2},1] [/math]