Ecuación del calor (CGomJRod)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo 6-A
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Resumen del trabajo/Abstract

El primer objetivo de este trabajo es estudiar cómo afecta la variación de cada uno de los parámetros en la solución final en un problema de la ecuación del calor. Para ello, empezaremos resolviendo uno a modo de ejemplo. Posteriormente, modificaremos cada uno de los datos dejando fijo el resto y comparando las distintas soluciones obtenidas. Además, no sólo estudiaremos la solución matemática al problema sino que también trataremos de darle una interpretación física.

[math]\textbf{Añadir qué vamos a hacer en la segunda parte del trabajo :)} [/math]

3 Preliminares/Conocimientos Previos

Flujo de calor (IMPORTANTE EXPLICAR ESTO BIEN LO USAMOS EN UN APARTADO MÁS ABAJO)

Ley de Fourier

Energía calorífica

conductividad térmica calor específico ¿Principio de conservación de la energía?:

Principio del máximo:

meter algo de series de Fourier

4 Ejemplo resolución ecuación del calor

Una vez ya sabemos todo lo necesario para trabajar con la ecuación de calor, resolveremos un problema a modo de ejemplo y como comentamos en [math]\textbf{LINK SECCIÓN ABSTRACT}[/math] veremos cómo cambia la solución según modificamos los datos iniciales.

Consideremos una varilla metálica de longitud 1 m. Supongamos que esta se encuentra aislada por su superficie lateral, por lo que la conducción de calor sólo se produce en la dirección longitudinal. Además, sabemos que la temperatura inicial de la varilla es 0 ºC y en los extremos izquierdo y derecho se consigue mantener la temperatura a 0ºC y 1ºC respectivamente. Por último, supongamos que la conductividad térmica y calor específico son iguales a 1. Con todos estos datos podemos plantear el primer problema a resolver

[math] \left\{ \begin{aligned} &\partial_t T - \partial_{xx} T = 0 \hspace{3cm} t\lt 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &T(0, t) = 0 \\ &T(1, t) = 1 \\ &T(x, 0) = 0 \end{aligned} \right. [/math]

A continuación explicaremos los pasos clave de la resolución la ecuación mediante separación de variables. Si se quiere ver con más detalle [math]\textbf{LINK. Hablar también que hemos empleado series de Fourier y poner link.}[/math].

4.1 Homegenización del problema (No me gusta el nombre)

Para resolver esta ecuación lo primero que debemos hacer es homogeneizarla. Es decir, obtener un nuevo problema mediante un cambio de variable de tal forma que las condiciones frontera sean la función nula en ambos extremos. Para ello, necesitamos hallar lo que se conoce como solución estacionaria.

Para entender qué representa esta solución volvamos al problema anterior. Cuando dejamos pasar el tiempo y la temperatura en cada punto de la barra cambia según lo describe la ecuación del calor después de un tiempo suficiente, la distribución de temperatura en la barra se mantiene constante. En este punto, hemos alcanzado la solución estacionaria. Escribámoslo en términos matemáticos:

Definición. Sea [math]T(x,t)[/math] solución de la ecuación del calor, llamamos solución estacionaria a [math]T^*(x):=\lim_{t \to \infty} T(x,t) [/math]. Esta verifica que [math]\partial_t T^*(x)=0[/math]

Con estas ideas en mente podemos ya podemos plantear el siguiente problema cuya solución es la estacionaria:

[math] \left\{ \begin{aligned} & \partial_{xx} T^* = 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &T^*(0) = 0 \\ &T^*(1) = 1 \end{aligned} \right. [/math]

Resolviéndola obtenemos que [math]T^*(x)=x[/math] cuya gráfica es: METER DIBUJOOOO

Como habíamos dicho antes, nuestro objetivo era encotrar la solución estacionaria para poder hacer un cambio de variable que homogeneizara la ecuación y así poder resolver por separación de variables LINK. Por tanto, haciendo el cambio de variable [math]u(x,t)= T(x,t)- T^*(x) [/math] obtenemos el problema

[math] \left\{ \begin{aligned} &\partial_t u - \partial_{xx} u = 0 \hspace{3cm} t\lt 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &u(0, t) = 0 \\ &u(1, t) = 0 \\ &u(x, 0) = -x \end{aligned} \right. [/math]

Se observa que efectivamente se trata del problema homogéneo que podemos resolver por separación de variables. Una vez hecho esto y deshaciendo el cambio obtenemos la siguiente solución:

[math] T(x,t)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{2}{k\pi}e^{-k^2\pi^2t} sen(k\pi x) + x[/math]

A continuación se muestra la gráfica de la solución. En ella se aprecia claramente cómo se verifican las condiciones iniciales y de frontera. Además, se puede ver que pasado un tiempo se va aproximando a la solución estacionaria que habíamos calculado.

INSERTAR SOLCALOR1 PONER TÍTULO Y VARIABLES EN LOS EJES DECIR ARRIBA EL NÚMERO DE TÉRMINOS QUE HEMOS CALCULADO DE LA SERIE

Una vez hemos resuelto la ecuación podemos abandonar el mundo puramente matemático y adentrarnos en la física. Nuestro nuevo objetivo es darle una interpretación a lo que hemos obtenido en el desarrollo anterior. Como se puede ver en la gráfica de la solución del apartado anterior (PONER LINK?), la barra comienza teniendo una temperatura uniforme e igual a 0ºC. Una vez comienza el experimento, de forma instantánea, el extremo derecho se calienta alcanzando 1ºC que se mantendrá constante a lo largo del tiempo. Es decir, esta ecuación junto con sus condiciones iniciales y frontera modelizan una barra que comienzan teniendo una temperatura uniforme y a la que se pone en contacto con una superficie en el extremo derecho que la calienta de forma instantánea, algo imposible en la realidad, y mantiene su temperatura constante a partir de ese momento. Además, en el lado izquierdo con un mecanismo similar se consigue que su temperatura sea la misma. Luego, según avanza el experimento podemos ver cómo esta va aumentando en todos los puntos de la barra a excepción de los anteriores hasta que se llega a la solución descrita por la solución estacionaria. Esto concuerda con lo que sucede en el mundo físico, pues si [math] t\gt 0[/math] el extremo derecho de la barra está más caliente que su entorno, habrá una transferencia de energía hacia la zona que esté más fría en forma de calor, por lo que su temperatura aumenta. Por otro lado, es lógico pensar que la distribución de temperatura pasado un tiempo sea continua, pues en la realidad no se ven cuerpos en equilibrio térmico tenga grandes saltos de temperatura en puntos muy próximos. La acción del paso del tiempo tiende a homogeneizarlos en términos de temperatura. Esta idea concuerda con lo que se ve en la solución estacionaria; una función continua que verifica las condiciones frontera.

4.2 Interpretación del flujo en los extremos

Una vez hemos entendido analíticamente el comportamiento de la situación y que esta efectivamente concuerda con lo que se ve en el mundo físico, veamos que dicha intuición también podemos encontrarla de forma implícita en la solución de la ecuación.

Para ello, necesitamos la noción del flujo de calor visto en (PONER LINK APARTADO PRELIMINARES). Como ahí se indica, dada una solución [math]T(x,t)[/math] este se puede calcular como

[math] \phi(x_0,t)=-\partial_x T(x_0,t)[/math]

Así, podemos hallar el flujo a lo largo de la barra:

[math]\phi(x,t)= 2\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}e^{-k^2\pi^2t} cos(k\pi x) +1 [/math]

Evaluando en los extremos obtenemos:

[math]\phi(0,t)=2\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}e^{-k^2\pi^2t} +1 \hspace{5 cm } \phi(1,t)=-2\sum_{k=1}^\infty e^{-k^2\pi^2t} +1[/math]

Si dibujamos la