ECUACIÓN DEL CALOR

{{ TrabajoED | Ecuación del calor. Grupo GRwM | EDP|2023-24 | Arturo Barrena y Mario Ríos}

1 Introducción

La visualización de soluciones de la ecuación del calor en una dimensión constituye una herramienta poderosa para desentrañar los intricados patrones de propagación térmica en sistemas unidimensionales. En este estudio, nos sumergimos en la riqueza matemática que rodea la representación gráfica de soluciones, explorando la diversidad de comportamientos térmicos que emanan de este modelo fundamental. A través de la creación visual, buscamos capturar la esencia dinámica de la ecuación del calor y ofrecer una perspectiva única sobre cómo la temperatura evoluciona en función del tiempo y la posición.

La ecuación del calor en una dimensión sirve como un punto de partida teórico sólido para comprender la difusión térmica en estructuras lineales. Al trazar diferentes soluciones, nos sumergimos en el tejido mismo de la propagación térmica, revelando detalles intrincados que, de otra manera, podrían escapar a una descripción puramente analítica. Este enfoque gráfico no solo ilustra la dinámica temporal de la temperatura, sino que también destaca la influencia de condiciones iniciales y parámetros en la evolución térmica a lo largo del espacio unidimensional.

2 Planteamiento del sistema

Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo [0, 1] y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor sólo se produce en la dirección longitudinal. La temperatura inicial de la varilla es 0 grados. En el extremo izquierdo se consigue mantener la temperatura a 0 grados mientras que en el derecho la temperatura es siempre de 1 grado. De acuerdo con todas estas indicaciones, podemos obtener el siguiente sistema:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial t}- \kappa \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, 0 \lt t \lt T, \\ u(x,0)=0, & \quad 0 \lt x \lt 1, \\ u(0,t)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ u(1,t)=1 & \quad 0 \lt t \lt T. \end{array} \right. [/math]

Cabe destacar que por simplificar el problema se suele tomar el valor [math]\kappa[/math] como constante que normalmente se impone que sea 1 para obtener el siguiente sistema:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, 0 \lt t \lt T, \\ u(x,0)=0, & \quad 0 \lt x \lt 1, \\ u(0,t)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ u(1,t)=1 & \quad 0 \lt t \lt T. \end{array} \right. [/math]

3 Deducción de la Solución estacionaria

Para poder obtener la solución estacionaria asociada a este sistema asumiremos que a medida que el tiempo aumenta la solución del sistema no varía, es decir que la derivada asociada a la variable temporal será nula de ese modo se puede obtener lo siguiente:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial ^2 u_{s}}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, \\ u_{s}(0)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ u_{s}(1)=1 & \quad 0 \lt t \lt T, \\ \end{array} \right. [/math]

Si resolvemos este problema de valor inicial obtendremos:

[math]u_{s}(x)=x [/math]

Dicha expresión corresponde al comportamiento de la solución cuando el tiempo resulta ser invariante para el sistema.

[math][/math]

4 Resolución de la parte no estacionaria

Homogeneizamos las condiciones frontera utilizando la solución estacionaria que hemos obtenido en el anterior apartado, es decir plantear un problema equivalente con condiciones de frontera homogéneas. Por aclarar la expresion final de la solución se compondrá de dos partes la parte estacionaria y la parte no estacionaria, es decir que lo podemos escribir de la siguiente forma:

[math]u(x,t)= u_{s}(x) + v(x,t) [/math]

donde v(x,t) corresponde a la parte no estacionaria de la solución que es la abordaremos en esta sección que despejando de la anterior expresión será:

[math] u_{s}(x) - u(x,t)= v(x,t) [/math]

De esta forma podemos llegar al sistema homogéneo que será de la forma:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial c}{\partial t}-\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, 0 \lt t \lt T, \\ v(x,0)=x, & \quad 0 \lt x \lt 1, \\ v(0,t)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ v(1,t)=1 & \quad 0 \lt t \lt T. \end{array} \right. [/math]

Ahora procedemmos a la resolución del sistema por medio del método de separación de variables, es decir consideramos que la solución es de la forma v(x,t)=X(x)T(t). Resolviendo obtendremos finalmente:

[math] v(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{k \pi}\sin{(k \pi x)} e^{-k^2\pi^2t} [/math].

De modo que la expresión para la solución final será:

[math] u(x,t)=x - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{k \pi}\sin{(k \pi x)} e^{-k^2\pi^2t} [/math].

5 Cambio de condiciones de frontera

Ahora cambiamos las condiciones en la frontera, en lugar de suponer que la temperatura es 0 grados en el extremo derecho, suponemos que la barra está aislada térmicamente en dicho extremo. De este modo obtendremos el siguiente sistema

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial t}- \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, 0 \lt t \lt T, \\ u(0,t)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ u_{x}(1,t)=0 & \quad 0 \lt t \lt T, \\ u(x,0)=max \{0,1-4|x-1/2|\}, & \quad 0 \lt x \lt 1. \end{array} \right. [/math]

Se puede observar que el sistema ya está homogeneizado ya que las condiciones de frontera son nulas, por tanto solo haría falta resolver el problema por el método de separación de variables:

[math] u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} c_{k}\sin{((\frac{\pi}{2}+k\pi)x)} e^{-(\frac{\pi}{2}+k\pi)^2t} [/math].

Véase que no podemos trabajar con la base trigonométrica usual [math]\{ 1, sen(\pi kx), cos((\pikx)\}_{k=1}^{\infty} [/math] ya que no nos permite describir adecuadamente la solución. En su lugar, vamos a trabajar con la base [math]\{ \frac{1}{2}, sen((\frac{\pi}{2}+k\pi)x), cos((\frac{\pi}{2}+k\pi)x) \}_{k=1}^{\infty} [/math] que ha sido modificada de tal forma que podamos representar adecuadamente la solución .Extendiendo de forma impar la función [math]max \{0,1-4|x-1/2|\}[/math], vamos a tener la base [math]\{sen((\frac{\pi}{2}+k\pi)x)\}_{k=1}^{\infty} [/math] pues forma un conjunto completo en [math][0,1][/math] y es ortogonal. Verificamos que la base es ortonormal: