Ecuación del calor (CGomJRod)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El nano no es humano, el nano es inmortal. Grupo 6-A
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Resumen del trabajo/Abstract

El primer objetivo de este trabajo es estudiar cómo afecta la variación de cada uno de los parámetros en la solución final en un problema de la ecuación del calor. Para ello, empezaremos resolviendo uno a modo de ejemplo. Posteriormente, modificaremos cada uno de los datos dejando fijo el resto y comparando las distintas soluciones obtenidas. Además, no sólo estudiaremos la solución matemática al problema sino que también trataremos de darle una interpretación física.

[math]\textbf{Añadir qué vamos a hacer en la segunda parte del trabajo :)} [/math]

3 Preliminares/Conocimientos Previos

Flujo de calor

Ley de Fourier

Energía calorífica

conductividad térmica calor específico ¿Principio de conservación de la energía?:

Principio del máximo:

meter algo de series de Fourier

4 Ejemplo resolución ecuación del calor

Una vez ya sabemos todo lo necesario para trabajar con la ecuación de calor, resolveremos un problema a modo de ejemplo y cómo comentamos en [math]\textbf{LINK SECCIÓN ABSTRACT}[/math] veremos cómo cambia la solución según modificamos los datos iniciales.

Consideremos una varilla metálica de longitud 1 m. Supongamos que esta se encuentra aislada por su superficie lateral, por lo que la conducción de calor sólo se produce en la dirección longitudinal. Además, sabemos que la temperatura inicial de la varilla es 0 ºC y en los extremos izquierdo y derecho se consigue mantener la temperatura a 0ºC y 1ºC respectivamente. Por último, supongamos que la conductividad térmica y calor específico son iguales a 1. Con todos estos datos podemos plantear el primer problema a resolver

[math] \left\{ \begin{aligned} &\partial_t T - \partial_{xx} T = 0 \hspace{3cm} t\lt 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &T(0, t) = 0 \\ &T(1, t) = 1 \\ &T(x, 0) = 0 \end{aligned} \right. [/math]

A continuación explicaremos los pasos clave de la resolución la ecuación mediante separación de variables. Si se quiere ver con más detalle [math]\textbf{LINK. Hablar también que hemos empleado series de Fourier y poner link.}[/math].

4.1 Homegenización del problema (No me gusta el nombre)

Para resolver esta ecuación lo primero que debemos hacer es homogeneizarla. Es decir, obtener un nuevo problema mediante un cambio de variable de tal forma que las condiciones frontera sean la función nula en ambos extremos. Para ello, necesitamos hallar lo que se conoce como solución estacionaria.

Para entender qué representa esta solución volvamos al problema anterior. Cuando dejamos pasar el tiempo y la temperatura en cada punto de la barra cambia según lo describe la ecuación del calor. Sin embargo, después de un tiempo suficiente, la distribución de temperatura en la barra se mantiene constante. En este punto, hemos alcanzado la solución estacionaria. Escribámoslo en términos matemáticos:

Sea [math]T(x,t)[/math] solución de la ecuación del calor, llamamos solución estacionaria a [math]T^*(x):=\lim_{t \to \infty} T(x,t) [/math]. Además, verifica que [math]\partial_t T^*(x)=0[/math]

Con estas ideas en mente podemos ya podemos plantear el siguiente problema cuya solución es la estacionaria:

[math] \left\{ \begin{aligned} & \partial_{xx} T^* = 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &T^*(0) = 0 \\ &T^*(1) = 1 \end{aligned} \right. [/math]

Resolviéndola obtenemos que [math]T^*(x)=x[/math] cuya gráfica es: METER DIBUJOOOO Como habíamos dicho antes, nuestro objetivo era encotrar la solución estacionaria para poder hacer un cambio de variable que homogeneizara la ecuación y así poder resolver por separación de variables. Por tanto, haciendo el cambio de variable [math]u(x,t)= T(x,t)- T^*(x) [/math] obtenemos el problema

[math] \left\{ \begin{aligned} &\partial_t u - \partial_{xx} u = 0 \hspace{3cm} t\lt 0 \hspace{0.5cm} 0\lt x \lt 1 \\ &u(0, t) = 0 \\ &u(1, t) = 0 \\ &u(x, 0) = -x \end{aligned} \right. [/math]

Se observa que efectivamente se trata del problema homogéneo que podemos resolver por separación de variables. Una vez hecho esto y deshaciendo el cambio obtenemos la siguiente solución:

[math] T(x,t)=\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{2}{k\pi}e^{-k^2\pi^2t} sen(k\pi x) + x[/math]

METER DIBUJO Y EXPLICARLO

4.2 Interpretación del flujo en los extremos

Ahora que ya tenemos calculada la solución al problema planteado podemos estudiar cómo es el flujo de calor en la barra