ANLAAG

1 Introducción

Fue entre 1807 y 1811, mientras llevaba a cabo un estudio sobre la ecuación del calor, cuando el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier publicó el primer estudio sobre la serie que recibe su nombre, la serie de Fourier.

Una serie de Fourier consiste en una serie infinita y convergente puntualmente a una función continua y periódica. La gran importancia de esta radica en su increíble eficacia para aproximar funciones, pues fue el matemático quien llegó a la conclusión de que cualquier función periódica e integrable de Riemann en el intervalo [-T,T] puede escribirse como suma infinita de funciones trigonométricas. De esta manera, se da lugar a la siguiente expresión que representa la serie, donde [math] a_0,a_n, b_n \in \mathbb{R} [/math] se conocen como coeficientes de Fourier:

[math] f(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty[ a_n \cos(\frac{n \pi x}{T}) +b_n\sin(\frac{n \pi x}{T})] [/math]

Además, los coeficientes de Fourier se obtienen de la siguiente manera.

FALTA EL CÁLCULO DE COEFICIENTES

2 Bases trigonométricas

Tal y como se ha observado con anterioridad cualquier función periódica e integrable de Riemann en el intervalo [-T,T] puede escribirse como suma infinita de funciones trigonométricas. El primer paso para comprender este concepto es definir la base ortogonal que permite mediante combinaciones lineales de los coeficientes de Fourier aproximar cualquier función. Esta base se encuentra en el espacio de Hilbert [math]L^2([-T,T])[/math] y viene dada por [math]\{ \frac{1}{2},\cos(\frac{n \pi x}{T}),\sin(\frac{n \pi x}{T})\}_{n \in \mathbb{N}}[/math].

Para comprender de manera óptima este concepto se presenta a continuación gráficamente los diez primeros términos de dicha base en el intervalo [-1,1]. Para obtener dicha representación, se ha utilizado el código que aparece posteriormente. Analíticamente, simplemente se debe sustituir la expresión de la base anterior para T=1.

Elemento de la base 1/2

ADJUNTAR GRAFICA DEL ELEMENTO COS ADJUNTAR GRAFICA DEL ELEMENTO SENO ADJUNTAR CÓDIGO EJERCICIO 1

Como se puede observar en las últimas dos, el valor de n es inversamente proporcional al periodo. Esto permite aproximarnos a la conclusión que posteriormente se enunciará de que cuanto mayor sea el valor de la n mejor aproximación de la función se obtendrá.

3 Aproximación de funciones

Tal y como se ha enunciado anteriormente, la gran importancia de las series de Fourier radica en su increíble eficacia para aproximar funciones periódicas.