La Clotoide (Grupo 39)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La Clotoide. Grupo 39 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Luis Relaño Rodríguez Daniel Pinyana Rodríguez Carlos Puebla Diaz Pau Vives Segui |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este trabajo vamos a exponer la curva y sus múltiples propiedades matemáticas que en el ámbito civil son muy beneficiarias
1 La Clotoide
1.1 Representación de la curva
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.
clc,clear,clf
%Comezamos discretizando los valores
n=300;
t=linspace(0,4,n);
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.
for i=1:n
j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
plot(X,Y)
axis([0,2,0,2])
1.2 Vectores velocidad y aceleración
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:
clc,clear,clf
%Discretizamos los valores de t en n:
n=50;
t=linspace(0,4,n);
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
for i=1:n
j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):
Vx=cos(t.^2/2);
Vy=sin(t.^2/2);
Ax=-sin(t.^2/2).*t;
Ay=cos(t.^2/2).*t;
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:
hold on
plot(X,Y,'b')
quiver(X,Y,Vx,Vy)
quiver(X,Y,Ax,Ay)
axis([0,2,0,2])
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración')
xlabel('x')
ylabel('y')
1.3 Longitud de curva
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 [/math]
1.4 Vector tangente y normal
El vector tangente de la curva se define como:
[math] t(t)=૪'(t)/frac(|૪'(t)|) [/math] si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a [math] d/dt(૪(t)) [/math] que es justamente [math] ૪'(t) [/math] y por tanto los vectores tg a cada punto de [math] ૪(t) [/math] son iguales en dirección, sentido y módulo que la velocidad.
[math] t(t)=૪'(t)/|૪'(t)|= \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes y se definen como: [math] n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2. [/math]
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.
clc,clear,clf
%Comezamos discretizando los valores
n=50;
t=linspace(0,4,n);
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.
for i=1:n
j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la
%curva
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)
tx=cos(t.^2/2);
ty=sin(t.^2/2);
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:
hold on
plot(X,Y,'b')
quiver(X,Y,tx,ty)
quiver(X,Y,nx,ny)
axis([0,2,0,2])
hold off
title('Curva, tangente y normal.')
xlabel('x')
ylabel('y')
1.5 Curvatura de κ(t)
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:
[math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math] ,siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).
El desarrollo de la curvatura de la clotoide está dada por esta expresión:
[math] \kappa (t)=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t [/math] con t∈(0,4)
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)
clc,clear,clf
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar
%discretizamos t
t=linspace(0,4);
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.
k=@(t) t ;
x=t; %Coordenadas abscisas
y=k(t); %Coordenadas ordenadas
plot(x,y,'b')
title('Curvatura De La Clotoide')
xlabel('x')
ylabel('y')
1.6 Circunferencia osculatriz
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: [math] R(t)=1/|κ(t)|.→ R(1)=1/t=R(1)=1. [/math]
El centro de la circunferencia osculatriz se define por : [math] Q(t) = ૪(t)+1/κ(t)*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy) [/math]
La circunferencia osulatriz se define por la parametrización: [math] c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) [/math] t∈(0,2ℼ)
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:
n=100;
t=linspace(0,4,n);
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
for i=1:n
j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Calculamos las integrales para t=1:
X1=integral(f1,0,1);
Y1=integral(f2,0,1);
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal
% siendo k=t=1
Qx=X1-sin(1/2);
Qy=Y1+cos(1/2);
t2=linspace(0,2*pi,n);
k=@(t) t;
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(t2);
Cy=Qy+R.*sin(t2);
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(X,Y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
hold off
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
1.7 Información de la clotoide
Desde el lenguaje matemático,la clotoide es una curva tangente en el origen al eje X (abcisas) con un radio que va disminuyendo de forma inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre la misma curva. Estas curvas adquirieron gran importancia en el campo de la ingeniería en torno al siglo XIX, ya que fueron la solución a la sacudida que sufría un coche/tren al entrar en una curva cuando se empalmaban tramos rectos con arcos de circunferencia(debido al cambio brusco del radio de curvatura, que producía un gran aumento de la fuerza centrífuga). NOTA:la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en rotación. Como la masa era difícil de disminuir, con menor velocidad tardaríamos más tiempo, y el radio de curvatura es infinito en recta y en circunferencia haría que fuesen más cortas las curvas; la solución de los fisicos y matematicos fue crear una curva de transición (clotoide) entre recta y circunferencia que según fuese disminuyendo el radio, fuese aumentando la distancia recorrida (inversamente proporcional), siendo su producto siempre el mismo número. -Ecuación curva clotoide: Mediante está ecuación,las clotoides poseen el fenómeno de evitar discontinuidades de la aceleración centrípeta(at mayor velocidad y curvatura) debido a que: -su curvatura es proporcional a la distancia a lo largo de la curva desde el origen, en cualquier punto. -su radio en el punto de tangencia con la recta(tiende a infinito); y su radio en el punto de tangencia con la curva que hace de enlace(uniforme). En la actualidad las clotoides son utilizadas de manera habitual en vías y carreteras, como curvas de transición encadenando tramos de recta->clotoide->circunferencia->clotoide->recta; consiguiendo así que la fuerza centrífuga cambie de manera gradual y puedas girar el volante progresivamente sin ningún movimiento brusco.
