Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo. (Grupo 31A)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Estudio de la temperatura y deformación sobre una placa plana en forma de sección de anillo |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Elías Esteban Mateos, Ignacio Velasco Vega, Javier López González, Julia Meliveo Gómez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este articulo se analizaran los efectos de distintos campos sobre una placa plana, entra otras cuestiones. Dicha placa tendrá la forma de una sección de anillo circular, la cual será correctamente definida en el primer apartado. Los campos que se estudiaran serán dos: un campo escalar, la temperatura; y un campo vectorial, la deformación de la placa.
Para una mejor representación visual de los conceptos expuestos en el proyecto se usara el apoyo del software Matlab. Todo el código utilizado durante el trabajo será debidamente expuesto al final del mismo. La organización se realizara en sucesivos apartados respondiendo a la preguntas propuestas por el profesorado, analizando las soluciones y sacando conclusiones sobre estas.
1 Sección de anillo
Empezaremos delimitando la sección sobre la que vamos a trabajar, una placa plana que está definida por dos anillos de radios 1 y 2 que se corta sobre un plano [math]y≥|x|/2 [/math], esto se podrá observar en la figura 1 . En este caso se usaran coordenadas cilíndricas, donde nuestras variables serán: [math]\rho[/math] y [math]\theta [/math] que se encontraran entre los valores: [math]1 \leq \rho \leq 2[/math] y [math]0,464 \leq \theta \leq 2,678[/math]
2 Temperatura
La temperatura en el semi-anillo está definida por el campo escalar: [math]T(x, y) = \cos ((y − 3)^2 + x). [/math], para mantener la coherencia en el trabajo, pasaremos el campo de temperaturas a coordenadas cilíndricas, de tal manera que quedaría así: \begin{eqnarray*} %x = ρcosθ %y = ρsenθ %z = z x &=& \rho \cos \theta \\ y &=& \rho \sin \theta \\ z &=& z \end{eqnarray*}
De tal forma que la temperatura se definiese [math] T(\rho ,\theta )=\cos (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta ).[/math]. Ahora se podrá visualizar en la figura 2 las curvas de nivel del campo de temperaturas sobre la placa, de la cual se descubre que la temperatura máxima que se alcanza es de: 0.99904 ºC
Después de se procederá a calcular el gradiente [math](,\nabla T, [/math] del campo de temperaturas, es decir, un campo vectorial:
\begin{eqnarray*}
\nabla T(\rho ,\theta ) &=&\frac{\partial T}{\partial \rho }\overrightarrow{e%
}_{\rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial T}{\partial \theta }\overrightarrow{e%
}_{\theta }+\frac{\partial T}{\partial z}\overrightarrow{e}_{z}\\
&=&\left \{ -\left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos\theta
\right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta)\right \
} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\&&+\left \{ -\left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin\theta
\right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta)\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta }
\end{eqnarray*}
Para finalizar este apartado, calcularemos la energía calorífica mediante la ley de Fournier:
\begin{eqnarray*} \bar Q &=& -k \cdot \nabla T (\rho ,\theta ), \ \ k=1 \\ &=&\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \sin \theta +\cos \theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\rho } \\ &&+\left \{ \left( 2\left( \rho \sin \theta -3\right) \cos \theta -\sin \theta \right) \sin (\left( \rho \sin \theta -3\right) ^{2}+\rho \cos \theta )\right \} \cdot \overrightarrow{e}_{\theta } \end{eqnarray*}
A continuación, representamos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ~u (en t = 0):
