La Catenaria Grupo 38

La catenaria. Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)[/math]

1 Dibujar la curva

Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

1.1 Código

% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;

.

2 Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva

2.1 Definición vector posición, velocidad y aceleración

El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración [math]γ′′(t)[/math] no tiene por que ser ortogonal a [math]γ′(t)[/math] en general. Pero sí lo es si la curva [math]γ(t)[/math] está parametrizada por longitud de arco (es decir, si [math]|γ|´(t)| = 1[/math])

[math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))[/math]

[math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j [/math]

[math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j[/math]

2.2 Representación de los vectores

% Parámetros 
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración 
V1 = ones(size(t));  
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));  
A2 = cosh(t);

% Gráfica 
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Labels
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);