Modelización del comportamiento de una placa bidimensional

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Modelización del comportamiento de una placa bidimensional. Grupo 1-C
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2022-23
Autores	Mario Andres Silva Peñaloza, Matias Rodriguez Obon, Javier Nogales Sanchez, Sofia Benito Gomez, Miguel Angel Abad Robles
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este trabajo empezaremos considerando una placa rectangular plana (bidimensional). Ésta ocupa la región definida entre 0 y 10 en el eje X y entre 0 y 2 en el eje Y, con su región en Z manteniéndose indefinida dado que sus cualidades físicas se realizan independientemente de la sección transversal de la placa. De antemano, se definirán dos cualidades físicas pertenecientes a esta placa, siendo su temperatura (T) y sus desplazamientos producidos por una fuerza determinada ([math]\vec U [/math]).

La temperatura viene dada por la siguiente función que depende de la posicion en la que se encuentra cada punto de la placa respecto del eje X (x) y del eje Y (y).

[math] T(x, y) = (x − 3)^2 + (10(y-1/2))^2 [/math]

Los desplazamientos ([math]\vec U [/math]) vendrán definidos por los vectores [math]\vec a \vec d \vec r_0(x,y) [/math] , que son la amplitud, el numero de onda, y un vector unitario que marca la dirección de propagación respectivamente. También dependerá de una serie de escalares, que son la velocidad de propagación v y el tiempo transcurrido t.

[math] \vec U=\vec a sen(k(\vec d ·\vec r_0(x,y)-vt)) [/math]

1 APARTADO1

Para representar el sólido, que es una placa rectangular plana con dimensiones (x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2], se han hecho dos vectores x e y, con paso [math] h=\frac {2}{10} [/math], después se crea una cuadricula 2D con meshgrid y con el comando mesh se grafica el mallado en 2D.

h=2/10;
x= 0:h:10;
y = 0:h:2;
[XX,YY]=meshgrid(x,y);
mesh(XX,YY,0*XX);
view(2)
title("Mallado")
axis equal
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
hold on
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
plot([0,10],[2,2],'k',[10,10],[2,0],'k',[0,10],[0,0],'k',[0,0],[2,0],'k');
hold off

2 APARTADO 2

La temperatura viene dada por la función [math] T(x, y) = (x − 3)^2 + (10(y-1/2))^2 [/math] , para obtener las curvas de nivel usamos el comando contour

z=(XX-3).^2+(10*(YY-1/2)).^2
contour(XX,YY,z)
title("Curvas de nivel de la temperatura")
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
hold on
colorbar
plot([0,10],[2,2],'k',[10,10],[2,0],'k',[0,10],[0,0],'k',[0,0],[2,0],'k');
axis equal
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%valor maximo
[m,n]=size(z)
maximus=0
for a=m
    for b=n
        if z(m,n)>maximus
             maximus=z(m,n);
             ex=m;
             ye=n;
        else
        end
    end
end
maximus
XX(ex,ye)
YY(ex,ye)
fprintf('el maximo de temperatura es %f y se encuentra en las coordenadas x=%d; y=%d \n',maximus,XX(ex,ye),YY(ex,ye))
hold off

Con el bucle obtenemos que la temperatura máxima es 274 y se encuentra en las coordenadas X = 10 e Y = 2

3 APARTADO 3

Para dibujar el campo vectorial, obtenemos el gradiente de nuestra función de temperatura.

[math]\nabla T =\frac{\partial T}{\partial x}\vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j =(2x-6)\vec i + (200y-100) \vec j [/math]

Usamos la grafica del apartado anterior y graficamos el campo vectorial con quiver, se puede ver que los vectores son ortogonales a las curvas de nivel.

i= (2.*XX-6)
j=(200.*YY-100)
quiver(XX,YY,i,j)
hold on
title("Curvas de nivel y gradiente")
contour(XX,YY,z,7)
axis equal
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

4 APARTADO 4

Se puede visualizar el desplazamiento que van a tener las partículas de la placa al ser sometida a los desplazamientos descritos por el vector U generando una gráfica utilizando Matlab con el siguiente código.

h=2/10;
x= 0:h:10;
y = 0:h:2;
[XX,YY]=meshgrid(x,y);
ui=XX*0 %SIN EL *0
uj=2/5*sin(XX) %+YY
%SI HACEMOS LO DE LOS PORCENTAJES CREEMOS QUE LE ESTAMOS SUMANDO U AL
%VECTOR CAMBIADO POR U
quiver(XX,YY,ui,uj)
view(2)
title("Solido despues del desplazamiento")
axis equal

Como se puede ver en la gráfica resultante, el campo vectorial describe un movimiento undulatorio. Esto llevará a la creación de curvas en lo que antes era una placa completamente planas. Sin embargo, se puede ver que el campo incrementa y disminuye gradualmente, lo cual demuestra que las curvas serán fluidas; no serán pliegues bruscos y marcados.