Flujo de Poiseuille Grupo 18-B

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Poiseuille (Grupo 18-B)
Asignatura	Alejandro Ramos García Alberto Monge Alejandro López Louciana Contreras
Curso	{{{3}}}
Autores	{{{4}}}
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible en una tubería cilíndrica de radio 2 que supondremos centrada en el eje OZ, de la cual conocemos que la velocidad [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)[/math] de las partículas viene dada por:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}},[/math]

y su presión [math]p\left(x,y\right)[/math] que viene dada por:

[math]p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1).[/math]

Posteriormente, representaremos el campo de velocidades y presiones gráficamente. Además, analizaremos los vectores ortogonales a [math]\vec{u}[/math], los puntos donde este es máximo, su rotacional y calcularemos el caudal que pasa por una de sus secciones transversales.

También, analizaremos una segunda cantidad física; la temperatura, la cual viene dada por el campo:

[math]T\left (\rho,\theta,z\right)=1 +\left (\rho-\frac{1}{2}\right)^{2}e^{-\left(z-1\right)^{2}},[/math]

de la cual, dibujaremos el campo de temperaturas y las curvas de nivel del campo. Luego, calcularemos su gradiente y analizaremos sus vectores gráficamente.

1 Mallado. Sección transversal de la tubería.

clc;
clear all;
x=0:0.3:3;
y=0:0.3:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-2,5,0,10])
view(2);

2 Velocidad y presión

2.1 Ecuación de Navier-Stokes. Divergencia nula.

2.1.1 Divergencia nula.

La divergencia de una campo vectorial en un punto, más concretamente, de un campo de velocidades de partículas, se puede interpretar como el cambio en la densidad en ese punto.

Al ser el agua un fluido incompresible, la divergencia debería ser nula en cualquier punto. Matemáticamente:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}[/math]

[math]\triangledown\cdot\vec{u} \left(\rho,\theta,z\right)=\frac{1}{\rho} \left ( \frac{\partial }{\partial \rho}\left ( \rho u_{\rho } \right )+\frac{\partial }{\partial \theta}\left ( u_{\theta } \right ) + \frac{\partial }{\partial z}\left (\rho u_{z}\right)\right) =\frac{1}{\rho}\left ( \frac{\partial }{\partial z}\left(\rho f\left(\rho\right)\right)\right)=0 [/math] (para cualquier punto).

2.2 Campo de presiones y campo de velocidades.

Considerando: [math] p_{1}=2, p_{2}=1 [/math] y [math]\mu=1, [/math] calcularemos el campo de presiones y el campo de velocidades.

El campo de presiones nos queda:

[math]p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right )=2+\left ( 1-2 \right )\left ( z-1 \right )=3-z.[/math]

El campo de velocidades nos queda:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2}\vec{e_{z}}=-\frac{1}{4}\rho ^{2}\vec{e_{z}}[/math]

clear;
clc;
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-(1/4)*xx.^2;           %debido al cambio a coordenadas cartesianas
uy=-(1/4)*yy.^2;           %ídem
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,5,0,12])
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES DEL FLUIDO')

2.3 Líneas de corriente del campo.

Calcularemos el campo [math] \vec{v} [/math], el cual es ortogonal a [math]\vec{u}[/math] en cada punto.

[math] \vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left ( \rho \right ) \end{vmatrix} = f\left ( \rho \right )\vec{e_{\rho }}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2}\vec{e_{\rho}} [/math]

El vector [math] \vec{v} [/math] es irrotacional al tener [math] \vec{u} [/math] divergencia nula. Matemáticamente se puede comprobar:

[math] [/math]

Ahora calculamos [math]\psi[/math], función corriente de [math] \vec{u}. \left (\bigtriangledown\psi =\vec{v}\right) [/math]

2.5 Rotacional.

clear;
clc;
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs(-(1/4)*xx.^2-(1/4)*yy.^2);
surf(xx,yy,rot)
colorbar
view(2)
axis([0,5,0,12])

3 Temperatura

3.1 Campo de temperaturas y curvas de nivel.

y=0:0.05:10;
z=-2:0.05:11;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1) 
p=1+(((Y.^2+Z.^2-(1/2)).^2).*exp(-((Z-1).^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,10]);
colorbar

y=0:0.05:8;
z=-2:0.05:10;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
p=1+(((Y.^2+Z.^2-(1/2)).^2).*exp(-((Z-1).^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,10]);
colorbar 
contour(Y,Z,p,10,'k');

3.2 Gradiente.

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
 figure (1)
 p=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pZ)
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:10;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+(((Y.^2+Z.^2-(1/2)).^2).*exp(-((Z-1).^2)));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pZ)
contour(Y,Z,p,'k');
axis([0,8,-1,10]);
shading flat
grid on
hold off