Explotación Minera (Grupo 4B)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Explotación Minera
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2016-17
Autores	Nerea Portillo Juan, Andrea del Río las Heras, Alejandro González Olaizola, María Calvo Jorge, Iker González Araquistain
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El objetivo de este trabajo es analizar la curva de producción de una explotación minera. Para ello se irán respondiendo a las cuestiones planteadas, analizando los resultados obtenidos y extrayendo conclusiones de dichos resultados.

2 ¿Qué ecuación relaciona la producción P y la función Q?

Para poder hallar la relación entre P y Q debemos primero definirlas:

-Q → Cantidad de mineral extraído desde el inicio hasta un tiempo t en toneladas.

-P → Producción en toneladas/año.

Así, la relación entre ambas será la siguiente:

P = /frac{dQ}{dt}

3 Calibrar el modelo de Gompertz determinando el valor del coeficiente r con los datos que se dispone

Para poder hallar el coeficiente r debemos tener en cuenta los siguiente datos:

-Ecuación diferencia del modelo de Gompertz:

\frac{dQ}{dt} = rQlog\frac{K}{Q}

Si tenemos en cuenta que hemos definido P como \frac{dQ}{dt} podemos decir que:

P = rQlog\frac{K}{Q} (1)

-K es igual a la cantidad total extraíble de mineral, que son 30.800 toneladas.

-La producción máxima es de 510 t/año, por lo que derivando P respecto de Q se haya Q igualando a 0:

\frac{dP}{dQ} = rlog\frac{K}{Q}-r = 0

r(log\frac{K}{Q}-1) = 0

\frac{K}{Q} = e → Q = \frac{K}{e} = 11.331

Ahora que tenemos los datos se puede sustituir en la ecuación (1)

510 = 11.331r → r = 0,045

4 Obtener la función P(Q) y dibujar una gráfica con la producción respecto al volumen extraído para 0 ≤ Q ≤ K

La función ya la hemos calculado anteriormente:

P = rQlog\frac{K}{Q} = 0,045Qlog\frac{30.800}{Q}

Ayudándonos con matlab representamos los valores de P respecto a Q:

%Gráfica Gompertz
t0=0; %initial time
tN=30800; %final time
q=t0:1:tN;
p1=0.045*q.*log(30800./q); % define function
plot(q,p1)

centro

Conclusiones de los resultados obtenidos:

Como era de esperar, la producción crece increíblemente rápido cuando la mina se empieza a explotar, sin embargo, al acercarnos a las 12.500 toneladas vemos como la producción alcanza su máximo y desciende drásticamente. Esto se debe a que los recursos están limitados, puesto que la cantidad total extraíble de mineral es de 30800 toneladas, de tal forma que conforme estos recursos van disminuyendo también lo hace la producción. Al principio la explotación será muy eficiente pero a medida que se consumen los recursos la producción será menor hasta alcanzar un valor de 0 cuando se ha extraído todo el mineral posible (30800 toneladas).

5 Calibrado mediante modelo de Verhulst

-Ecuación diferencial del modelo de Verhulst:

Q' = rQ(1-\frac{Q}{K})

Definiendo P como Q' = \frac{dQ}{dt} podremos decir que:

P = rQ(1-\frac{Q}{K}) (2)

-K es igual a la cantidad total extraíble de mineral que son 30.800 toneladas.

-La producción máxima es de 510 t/año, y derivando P respecto de Q e igualando a 0 se halla Q:

\frac{dP}{dQ} = r-\frac{2rQ}{K} = 0 → Q = 0.5K = 15.400 t

Teniendo todos los datos se puede sustituir en la ecuación (2)

510 = 15.400r(1-\frac{15.400}{30.800}) → r = 0,066

Obteniendo como resultado la función P(Q)

P = 0,066Q(1-\frac{Q}{30.800}

Trabajando con matlab compararemos las gráficas de ambos resultados:

%Comparación gráfica Gompertz y Verhulst
t0=0; %initial time
tN=30800; %final time 
q=t0:1:tN;
p1=0.045*q.*log(30800./q); % define function 1
hold on
plot(q,p1)
p2=0.066.*q.*(1-q./30800); % define function 2
plot(q,p2)
hold off