Circuitos Eléctricos RL

1 Introducción

Un circuito RL es un circuito eléctrico que contiene una resistencia y una bobina en serie, además de una fuente de alimentación. Se dice que la bobina se opone transitoriamente al establecimiento de una corriente en el circuito. En una resistencia R, la Ley de Ohm establece que:

[math]i(t)={v(t)\over R}[/math] siendo [math]i(t)[/math] la intensidad de corriente en amperios ([math]A[/math]), [math]v(t)[/math] el voltaje en voltios ([math]V[/math]) y [math]R[/math] el coeficiente de resistencia en ohmios ([math]Ω[/math]).

En un inductor L, la Ley de Faraday impone:

[math]v(t)=L {d\over dt} i(t)[/math] donde [math]L[/math] es el coeficiente de autoinducción en henrios ([math]H[/math]).

También tenemos en cuenta las Leyes de Kirchoff, que establecen el comportamiento de los circuitos:

1. Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
2. Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado o malla, la suma de diferencias de potencial es nula.

Circuitos Eléctricos RL

2 Ley de Kirchoff de Voltaje o Tensiones

La ley de voltaje de Kirchhoff indica que la suma de voltajes alrededor de una trayectoria o circuito cerrado debe ser cero. \[{d\over dt}i(t)+{R\over L}i(t)-{E(t)\over L}=0\]

centro

Por estar en serie y aplicando esta ley, podemos ver que la tensión total es la tensión en la resistencia (R) más la tensión en la bobina (L). Por lo que la f.e.m. es igual al voltaje de la bobina más la resistencia.

centro

Aplicando la ley de Ohm a la resistencia y la de Faraday a la bobina, se obtiene la siguiente ecuación:

centro

2.1 Cálculo analítico y representación

Gráfico representación analítica intensidad-tiempo.

Suponiendo que en el instante t=0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado, obtenemos la intensidad para cada instante t>0 teniendo en cuenta que la fuente de alimentación tiene un voltaje constante de E=20V, L=0.2H y R=5Ω. El cálculo analítico de la intensidad quedará resuelto de la siguiente manera, mediante un Problema de Valor Inicial (P.V.I.) o de Cauchy:

2.2 Método de Euler

Aplicamos el método de Euler basado en la aproximación del valor de la función a la recta tangente en cada punto conocido, mediante un problema de valor inicial (P.V.I.) y lo comparamos con los resultados que hemos obtenido analíticamente.

Gráfico intensidad respecto del tiempo cuando el circuito pasa de estar abierto a cerrado aplicando el método numérico.

%Datos del problema: 
L=0.2;%Autoinductancia de la bobina 
R=5;%Resistencia
tau =L/R; %Definición
E=20; %Valor de la fem
t0=0;%Tiempo
tN=5*tau; %Tiempo de carga
i0=0; %En t=0 está descargado
funcion='100-i/0.04'; %i'=E/L-i/tau
f=inline(funcion,'t','i');

%Discretización:
h=0.001;
N=round((tN-t0)/h);
%Crear el vector t
t=linspace(t0,tN,N+1);
i=zeros(1,N+1);
i(1)=i0;
%Euler
for k=1:N
    i(k+1)=i(k)+h*f(t(k),i(k));
end
ir=E/R*(1-exp(-t./tau)); %solción analítica
clf

%Representación:
hold on
plot(t,i,'b')
plot(t,ir,'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('intensidad')
legend('Euler','Exacta','Location','Best');
hold off

En la gráfica podemos ver que efectivamente el tiempo de carga es 5*tau.

Solución por el método de Euler para h=0.01.

Solución por el método de Euler para h=0.001.

La estabilidad del método de Euler dependerá del comportamiento de la solución numérica del mismo cuando se perturba el valor de la condición inicial. Para comprobar cuándo el método es estable comparamos distintos resultados obtenidos al variar el valor de discretización (h) y observamos las diferencias. Se comprueba por tanto que el método es estable para h=0.05.

Solución para método estable para h=0.05.

Solución método inestable para h=0.08.

2.3 Método del Trapecio

Solución método del trapecio para tN=3.

Solución detalle método del trapecio para tN=0.2.

El método o regla del trapecio es un procedimiento basado en la integración numérica que permite calcular aproximadamente el valor de una integral definida. La regla se basa en aproximar el valor de la integral de \(f(x)\) por el de la función lineal situado entre los puntos de inicio y final del intervalo de la función, aproximándolo al área de un trapecio. Utilizamos el siguiente código en Matlab para aplicar el método del trapecio (más exacto que Euler):

%Datos del problema:
L=0.2;%Autoinductancia de la bobina 
R=5;  %Resistencia
tau =L/R; %Definición
E=20; %Valor de la fem
t0=0; %Tiempo inicial
tN=5*tau; %Tiempo de carga
i0=0; %En t=0 está descargado
funcion='100-i/0.04'; %i'=E/L-i/tau
f=inline(funcion,'t','i');

%Discretización:
h=0.08;
N=round((tN-t0)/h);
%Crear el vector t
t=linspace(t0,tN,N+1);
i=zeros(1,N+1);
i(1)=i0;
%Trapecio
for k=1:N
    i(k+1)=(1+h/(2*tau))\(i(k)+h/2*f(t(k),i(k))+h/2*E/L);
end
ir=E/R*(1-exp(-t./tau)); %solución analítica
clf

%Representación:
hold on
plot(t,i,'b')
plot(t,ir,'r')
xlabel('tiempo')
ylabel('intensidad')
legend('Trapecio','Exacta','Location','Best');
hold off

Se ha elegido tN = 5*tau = 0.2s porque es el tiempo que tarda en cargarse la bobina.

Solución por el método del trapecio.

Solución por el método de Euler.

paso más grande ¿Cuanto tarda en estabilizarse la intensidad a un valor constante? Si aumentamos o disminuimos la constante del inductor,¿qué ocurre?

3 Interpretación de la ecuaciones en términos de las leyes de Kirchoff

Circuito RL

Éste es el sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la figura de la derecha: [math]\left\{\begin{matrix}E(t)=R_1i_1(t)+L_2\frac{d}{dt}i_2(t)+R_2i_2(t) [1]\\E(t)=R_1i_1(t)+L_1\frac{d}{dt}i_3(t)+R_3i_3(t) [2]\\i_1(t)=i_2(t)+i_3(t) [3]\end{matrix}\right.[/math]