Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. G17

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Trabajo 3. Ecuacion de Ondas. Grupo 18-A
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Lucas Fabretti Torino Fernando Marin Lopez-Santa Cruz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

1.1

Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t) 
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

1.2

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta. Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
                                    3x/10    ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =              
                                     3/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

1.3

Método de Heun

2 Energía del cable

Para dibujar la energía del cable en una gráfica usamos la siguiente expresión

mediante el método de diferencias finitas

2.1

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio. A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

2.2

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periodicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que F0 = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

Se repite el experimento con F0 = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

2.3

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energ´ıa para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t) 

2.4

Por último, resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 términos de la serio el ejercicio 2.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
                                    3x/10    ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =              
                                     3/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0