Ecuación del calor. (Grupo A8)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor (Grupo A8) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | Valentina Salazar; Antonio Carrero; José Francisco Aguilera |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción y modelización del problema.
En este artículo trataremos el comportamiento térmico de una varilla sometida a ciertas condiciones térmicas y físicas mediante diferentes métodos numéricos, daremos interpretación física a los resultados arrojados por estos métodos. Basaremos el estudio analítico y numérico necesario en la ecuación del calor propuesta por Jean-Baptiste Joseph Fourier en 1822.
Para estudiar el problema consideraremos una varilla delgada, de sección constante y de un material homogéneo, de longitud [math]L=4[/math]. La situaremos en el intervalo [math]x\in{(0,4)}[/math] de la recta real. Para llevar acabo esta modelización tendremos que asumir unas ciertas hipótesis y simplificaciones:
- Para el primer caso a plantear la varilla estará infitamente aislada del entorno y por tanto no habrá flujo de calor sobre la superficie lateral de la misma.
- Al estar considerando el caso unidimensional de la ecuación del calor, asumiremos que al ser una varilla delgada la temperatura a lo largo de una sección ortogonal al eje [math]x[/math] se mantiene constante en toda la sección.
- Consideraremos que el calor específico del material, [math]c[/math], es constante y no depende de la temperatura, y por tanto la difusividad térmica,[math]\alpha=\frac{k}{c\rho}[/math] también lo será.
Si damos un valor a las constantes [math]c[/math], [math]k[/math] y [math]\rho[/math], tal que [math]\alpha=2[/math]; y no hay fuentes ni sumideros de calor dentro de la varilla, la ecuación en derivadas parciales que tendrá que cumplir la distribución de temperaturas a lo largo de la misma es::
[math]u_t(x,t)-2u_{xx}(x,t)=0[/math]
Donde:
- [math]u(x,t)[/math] nos define como evoluciona la temperatura a lo largo del eje [math]x[/math].
- [math]u_t(x,t)[/math] es la derivada de la temperatura con respecto del tiempo.
- [math]u_{xx}(x,t)[/math] es la segunda derivada de la temperatura con respecto de [math]x[/math].
Junto con está ecuación en derivadas parciales consideraremos una serie de condiciones: iniciales y de contorno. Como condición inicial para está modelización propondremos::
[math]u(x,0)=e^{-6(x-2)^2}+5-\frac{5}{4}x[/math]
Donde [math]u(x,0)[/math] no es otra cosa que la distribución de temperaturas inicial.
A lo largo del artículo variaremos las condiciones de contorno para dar diferentes ejemplos, pero en el bloque de casos prácticos trabajaremos con las siguientes::
[math]u(0,t)=5[/math]: [math]u(4,t)=0[/math]
Éstas indican la temperatura (en este caso, otras pueden ser los flujos de calor o combinaciones de ambos) en cada uno de los extremos de la varilla.
2 Casos prácticos
En los apartados que siguen estudiaremos a través del cálculo numérico el caso anteriormente expuesto e interpretaremos los resultados obtenidos mediante dicho análisis. El lenguaje usado en el que se implementarán estos modelos será código Matlab u Octave.
2.1 Método de diferencias finitas o método de lineas
Trataremos de reducir el sistema de ecuaciones a una sola variable en una discretización de [math]n[/math] valores haciendo la aproximación::
[math]u_{xx}(t)=\frac{-U^{N-1}(t)+2U^N(t)-U^{N+1}(t)}{h^2}[/math]
Así podemos aplicar uno de los diferentes métodos iterativos en la variable [math]t[/math] que se muestran en los subapartados que siguen.
