Desintegración Radiactiva 11-A

Trabajo realizado por estudiantes
Título	DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 10-A
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Alejandro Carrillo del Aguila (1400) Antonio Carrillo del Aguila (80) Humberto del Castillo Montes de Oca (1281) Laura de la Morena Mendez (1421) Miguel Coello Guijarro (1408)
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El trabajo propuesto nos plantea el cálculo de la desintegración de un material radiactivo a lo largo del tiempo, sabiendo que estos materiales se van desintegrando proporcionalmente a la cantidad restante. Por lo que analíticamente, un material radiactivo se desintegra en función de la siguiente ecuación diferencial:

[math]M'(t) = −k·M(t)[/math]

2 Interpretación de M(t) y K

M(t) es la cantidad de material radiactivo restante respecto del tiempo y K es una constante de desintegración que variará dependiendo del material. Por lo que cuanto mas alta sea la constante de desintegración, mas alto será el valor absoluto de la velocidad, es decir, el material se desintegrará en menos tiempo.

3 Planteamiento del Problema de Valor Inicial (P.V.I)

Tomando M₀ como la cantidad inicial y se plantea el siguiente problema de valor inicial:

[math] P.V.I. \left\{\begin{matrix}\ M(t_{0}) = −kM(t)\\ M(t_{0})=M_{0}\end{matrix}\right. \Longrightarrow M'(t)=\frac{\operatorname dM(t)}{\operatorname dt}= -K·M(t) \Longrightarrow \frac{1}{M(t)}·\operatorname dM(t)= -k·\operatorname dt [/math]

Integrando e imponiendo la condición inicial se obtiene la siguiente solución:

[math]M(t)=M_{0}·e^{-kt}[/math]

Como se puede observar, cuando el tiempo es cero aun quedará todo el material inicial y según transcurra el tiempo la cantidad de materia ira decreciendo exponencialmente.

4 Interpretación y Resolución Numérica

El trabajo propuesto nos plantea concretamente el caso del [math]C^{14}[/math], informándonos que este tiene una constante de desistegración [math]K=1,24·10^{-4}[/math] y unos los huesos encontrados por un arqueólogo contienen un 8% de [math]C^{14}[/math].

4.1 Resolución por el método de Euler

La cantidad inicial del material es indiferente para cualquier tipo de cálculos porcentuales o temporales como se demuestra a continuación:

[math] \left\{\begin{matrix}\ M(t_{0}) = −kM(t)\\ M(t^{0.08})=0.08·M_{0}\end{matrix}\right. \Longrightarrow 0.08M_{0}=M_{0}·e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow 0.08=e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow t^{0.08}=\frac{-Ln(0.08)}{K} [/math]

Por lo que podemos afirmar que el problema es muy estable, ya que al cambiar la condición inicial no varia nada.

Pero para su resolución numérica con Octave (o Matlab), debemos elegir una cantidad inicial. Nosotros lo hemos planteado con un valor de 100 para que represente el porcentaje inicial de material en vez de la cantidad material, pero repito, seria indiferente este valor para los cálculos porcentuales y temporales.

%Variables del Problema
h=0.1; % o h=0.01 dependiendo de la gráfica
t0=0;
k=1.24*10^(-4);
m0=100;
tn=40000;
t=0:h:tn;
m=t;
solucion=1;
m(1)=m0;
N=(tn-t0)/h; %si quisiera el numero de subintervalos
  
%con linespace(t0,tn,n+1)
for i=1:N;
  m(i+1)=m(i)+h*(-k*m(i));
  
  if m(1+i)<=0.08*m(1) & length(solucion)==1
    solucion(2)=t(i+1)/h;
  end
  
end

hold on
  plot(t,m)
  anyosDeDesintegracion=solucion(2)
  plot(solucion(2)*h,m(solucion(2)),'+')
hold off

Como se ob

4.1.1 Gráfica Euler h=01

4.1.2 Gráfica Euler h=001

4.2 Trapecio

Para la resolución del problema mediante el método del trapecio ha sido necesario despejar la cantidad de materia [math]M_{(i+1)}[/math] de la ecuación implícita, para poder meterla posteriormente en un bucle en el cual impondremos que una vez alcanzada cierta cantidad [math]M=0.8·M_{0}[/math] pare, tal y como nos plantea el problema.

%Variables del problema
t(1)=0;
h=0.1;
tn=40000;
k=1.24*(10^(-4));
m(1)=100;
t=t(1):h:tn;
n=(tn-t(1))/h;

for i=1:n;
  m(i+1)=(m(i)*(1-k*h/2))/(1+h*k/2);
  if m(i+1)<8;
    tmaximo=(1+i)
    break
  end
end

t=0:h:(length(m)-1)*h;
plot(t,m,'r')