Logística con umbral A7

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Logística con umbral A-7
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Bautista Mendo, Jorge Casanova Lozano, Javier Chueca Rincón, Jaime Crespo Ferrer, Enrique Domínguez Trufero, Miguel
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Problema de valor inicial

Consideramos el problema de valor inicial:

1.1 Apartados 1 2 3

Resolveremos la ecuación por los tres distintos métodos: Runge-Kutta, Euler y Heun. Cada unos de ellos nos aportara una aproximación de la solución exacta siendo el método de Runge-Kutta la mejor aproximación de las tres, y el de Euler el menos exacto. También dependerá del paso (h) elegido, ya que cuanto menor sea éste, mas exacta sera la función, debido a que habrá un mayor numero de intervalos con un diferencial de área menor, lo que provoca que la integral calculada sea mas precisa. Usaremos los pasos h = 1; h = 0.1; h = 0.01 .

Tomando como intervalo 100 años, una población inicial de 60, r=0.04, M2=100 (se refiere a la población máxima o limite que es capaz de mantenerse) y M1=30 (es la población mínima necesaria para poder llegar a desarrollarse), obtenemos:

clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100;                           %Tiempos inicial y final
y0=60;                                 %Condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=1,0.1,0.01
h=input('Introduce tamaño de paso:');  %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h;                           %Discretización
r=0.04;m1=30;m2=100;                   %Constantes de la ecuación
t=t0:h:tN;                             %Vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada metodo
y=zeros(1,N+1); y(1)=y0;               %Runge-Kutta
z=zeros(1,N+1);z(1)=y0;                %Euler
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0;              %Heun
for i=1:N
 %Método Runge-Kutta:
 K1=-r*y(i)*(1-y(i)/m1)*(1-y(i)/m2);
 K2=-r*(y(i)+1/2*K1*h)*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m2));
 K3=-r*(y(i)+1/2*K2*h)*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m2));
 K4=-r*(y(i)+K3*h)*(1-((y(i)+K3*h)/m1))*(1-((y(i)+K3*h)/m2));
 y(i+1)= y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
 %Método Euler:
 z(i+1)=z(i)+h*(-r*(z(i)+1/2*K1*h)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m1)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m2));
 %Método de Heun:
 Kh1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
 Kh2=-r*(he(i)+Kh1*h)*(1-((he(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he(i)+Kh1*h)/m2));
 he(i+1)= he(i)+h/2*(Kh1+Kh2);      
end
%Dibujamos las distintas gráficas:
subplot(3,1,1);
plot(t,y,'b','linewidth',2)
legend('RUNGE-KUTTA','location','best')
subplot(3,1,2);
plot(t,z,'r','linewidth',2)
legend('EULER','location','best')
subplot(3,1,3);
plot(t,he,'g','linewidth',2)
legend('HEUN','location','best')

Como podemos comprobar en las siguientes imágenes la población empieza a crecer de forma que se estabiliza al llegar a 100, siendo esta su población límite que admite. A medida que vayamos tomando pasos mas pequeños se reducirán los errores y conseguiremos una aproximación mejor.

Paso 1

Paso 0.1

Paso 0.01

1.2 Apartado 4 y 5

clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100;    %tiempos inicial y final
y0=120; y02=20;       %condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=1,0.1,0.01
h=0.1;                %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h;          %discretización
r=0.04;m1=30;m2=100;  %constantes de la ecuación
t=t0:h:tN;            %vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada y0
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0;  
he2=zeros(1,N+1);he2(1)=y02;
for i=1:N
    %Con y0=120
 K1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
 K2=-r*(he(i)+K1*h)*(1-((he(i)+K1*h)/m1))*(1-((he(i)+K1*h)/m2));
 he(i+1)= he(i)+h/2*(K1+K2);     
    %Con y0=20
 Kh1=-r*he2(i)*(1-he2(i)/m1)*(1-he2(i)/m2);
 Kh2=-r*(he2(i)+Kh1*h)*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m2));
 he2(i+1)= he2(i)+h/2*(Kh1+Kh2);
end
%dibujamos las gráficas:
hold on
plot(t,he,'g','linewidth',2)
plot(t,he2,'b','linewidth',2)
legend('y0=120','y0=20','location','best')
hold off
xlabel('tiempo')
ylabel('población')

Podemos observar como cuando la población inicial es superior al limite sustentable ésta deberá decrecer para sostenerse, mientras que cuando la población inicial es menor de la población mínima para poder perpetuarse y desarrollarse esta decrecerá.

2 Comparación entre especies

2.1 Parasitismo

a1 = −0.3, a2 = 1.15, b1 = 0, b2 = 0, c1 = −0.08, c2 = 0.09, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 150].

En el intervalo de tiempo 0-150 observamos una función cíclica. La especie 1 se inicia en un número de individuos igual a 2, experimentando unas variaciones crecientes y decrecientes a lo largo del tiempo. La especie 2 tiene un comportamiento similar aunque su crecimiento y decrecimiento no es tan pronunciado.

El método de Euler refleja de una forma menos precisa el comportamiento del ecosistema que el método de Heun.

En cuanto al modelo de competencia entre las dos especies se observa un PARASITISMO, siendo el huésped la especie 1. La especie 1 vive a expensas de la evolución de la especie 2, ya que su momento de crecimiento y decrecimiento (especie 1) es siempre posterior y perjudica a la segunda especie.

En cuanto a la especie 2, se observa que al principio la población crece en un periodo de tiempo entorno a 2-5 años donde alcanza su máximo en torno a 25 individuos. Después se produce un descenso brusco hasta la desaparición de la especie, volviéndose después a repetir el mismo proceso evolutivo. La especie 1 se comporta de manera similar pero su descenso no es tan brusco y no llega a la desaparición total. Ninguna de las dos especies logra estabilizarse ya que siguen un proceso cíclico, por lo que no es un sistema estable.

El crecimiento de la especie 2 afecta al crecimiento de la primera especie, que se guía por el proceso evolutivo de la segunda especie. Ambas especies crecen de forma similar hasta los 25 individuos, momento en el que la gráfica de la especie 2 comienza a descender mientras que la de la especie 1 continúa creciendo hasta los 40 individuos.

2.2 Neutralismo

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 40].

En esta gráfica se tratan dos especies con una evolución que sigue un modelo logarítmico. La especia 1 comienza con una población de 2 y a partir de ahí crece progresivamente hasta que alcanza su máximo en 4 y se mantiene constante. En el caso de la segunda especie esta comienza en 7 y contraria a la otra especie desciende hasta llegar un mínimo en 2,5 donde se mantiene constante. En este caso el método de Euler es similar al método de Heun por lo que podemos afirmar que no existe ningún tipo de error con el método de Euler.

El modelo de competencia en nuestro caso será NEUTRALISMO, donde ambas especies siguen su curso de crecimiento y decrecimiento hasta llegar a t=20, momento en el que las especies se estabilizan deteniendo su evolución, alcanzando sus respectivos máximos y mínimos. La elección de este modelo de competencia se basa en que al c1 y c2 cero, el término xy es nulo en las dos especies, lo que indica que no hay interacción entre especies y cada una es independiente de la otra.

La especie 2 desciende en población pero no llega a desaparecer estabilizándose en 2,5, al contrario que la especie 1 que crece en el ecosistema hasta t=20 donde se estabiliza parando su crecimiento.

Las especies son independientes en sus respectivas evoluciones y no existe interacción entre ellas, es decir, el comportamiento de una especie no afecta a la otra.

2.3 Simbiosis o cooperación

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = −0.015, c2 = −0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

2.4 Competición

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0.015, c2 = 0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

2.5 Amisalismo

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 10].

2.6 Comensalismo

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = −0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].