Logística con umbral

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Logística con umbral. Grupo 24-C
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Jose Antonio Martinez Montalvo 1494 Jorge Sempere Ruíz 4 Isaac Rebollo Palos 1522 Marta Orellana Jimenez 309 Rodrigo Bellot Rodriguez 1270
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Objetivos y metodología

El objetivo del trabajo es el estudio de dos problemas poblacionales independientes.

En el primero de ellos trataremos la resolución de una ecuación logística clásica que modeliza una especie de individuos y su dependencia con el medio, lo que se traduce en un problema de valor inicial. Trataremos de resolverlo mediante distintos metodos numericos (Euler, Heun y Runge-Kutta) a la vez que le daremos un sentido tanto numérico como poblacional.

En el segundo analizaremos la evolución de dos especies que ocupan un mismo ecosistema, que actuaran como competidores en el uso de los recursos. Esta situacion sera la equivalente a un sistema de ecuaciones no lineal denominado modelo de competencia y para distintos valores de sus constantes analizaremos el tipo de relacion entre las especies (neutralismo, parasitismo...) asi como algunas propiedades que se pueden derivar de la misma.

2 Dinámica de población dependiente del medio

2.1 Introducción

[math] \left\{\begin{matrix} y'=-ry(1-\frac{y}{M1})(1-\frac{y}{M2})\\y=y0 \end{matrix}\right. [/math]

2.2 Resolución

Representación gráfica del dominio de las funciones (MATLAB)

Para la resolución general utilizaremos un numero de individuos iniciales igual a 60 (y0=60).

% f(t,y)= -r*yy*(1-yy/m1)*(1-yy/m2)

clf

% Datos
r=0.04;
m1=30;
m2=100;
y0=60;

% Discretizacion tiempo
t0=0;
tf=100;
hh=[1 0.1 0.01];
h=hh(1); 
% Cambiando entre 1,2 y 3 elegimos el paso de tiempo que queremos.
% Cuidado que con 0,01 es probable que se cuelgue el ordenador.
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;

% Vector Euler
y=zeros(N+1);
yy=y0;
y(1)=yy;

% Vector Heun
he=zeros(N+1);
hh=y0;
he(1)=hh;

% Vector RK4
rk=zeros(N+1);
rr=y0;
rk(1)=rr;

for k=1:N
% Euler
yy=yy+h*(-r*yy*(1-yy/m1)*(1-yy/m2));
y(k+1)=yy;
% Heun
k1=-r*hh*(1-hh/m1)*(1-hh/m2);
k2=-r*(hh+k1*h)*(1-(hh+k1*h)/m1)*(1-(hh+k1*h)/m2);
hh=hh+0.5*h*(k1+k2);
he(k+1)=hh;
% RK4
% Calculamos k1=f(tn,yn) 
k1=-r*rr*(1-rr/m1)*(1-rr/m2);
% Calculamos k2=f(tn+h/2,yn+1/2*h*k1) % Cambiar yy por (yy+0.5*h*k1)
k2=-r*(rr+1/2*h*k1)*(1-(rr+1/2*h*k1)/m1)*(1-(rr+1/2*h*k1)/m2); % Poniendo "(yy+1/2*h*k1)" en vez de yy
% Calculamos k3=f(tn+h/2,yn+1/2*h*k2) % Cambiar yy por (yy+0.5*h*k2)
k3=-r*(rr+1/2*h*k2)*(1-(rr+1/2*h*k2)/m1)*(1-(rr+1/2*h*k2)/m2); % Poniendo "(yy+1/2*h*k2)" en vez de yy
% Calculamos k4=f(tn+h,yn+h*k3) % Cambiar yy por (yy+h*k3)
k4=-r*(rr+h*k3)*(1-(rr+h*k3)/m1)*(1-(rr+h*k3)/m2); % Poniendo "(yy+h*k3)" en vez de yy
% Meto los datos en el vector
rr=rr+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
rk(k+1)=rr;
end

hold on

plot(t,y);
plot(t,he,'r');
plot(t,rk,'g');
legend('Euler','Heun','RK4')

grid minor;
xlabel('Tiempo');
ylabel('Poblacion R');

2.3 Interpretación

2.3.1 General

2.3.1.1 Numérica

2.3.1.2 Poblacional

En términos de dinámica de poblaciones la ecuación diferencial modeliza una población limitada en 100 individuos, condicionada por distintos factores del medio siendo el más limitativo del crecimiento poblacional la falta de recursos en el ecosistema donde se estudia la población. En el estudio desarrollado a continuación se parte de la base de que con poblaciones inferiores a cierto valor (30 en nuestro caso) estas serán incapaces de adaptarse al medio y prosperar, decreciendo la población de forma continuada hasta la desaparición total de esta. Interpretamos, en función de los valores dados, que a partir de 30 componentes estas agrupaciones son capaces de diversificar las funciones desarrolladas en el grupo siendo suficientes para que estas permitan el desarrollo del grupo. En el caso limite, consideraríamos que de la totalidad de los individuos se repartiría en funciones esenciales, como la obtención de alimento y la defensa del grupo, lo que permitiría un crecimiento poblacional moderado. Sin embargo, para comunidades mayores la diversificación de tareas, o bien, desarrollándose las mismas de forma más eficiente o pudiendo llegar a surgir otras, y mientras el factor limitativo de los recursos del medio lo permita, el crecimiento será superior al de poblaciones menores en los valores iniciales . Lo expuesto previamente se cumple hasta valores muy cercanos al límite de individuos en ese espacio, no obstante, en zonas cercanas al valor máximo de individuos de este estudio la pendiente en el crecimiento se ve disminuida dando lugar a un crecimiento más lento de los experimentados previamente. Pudiera interpretarse como que, dado que los recursos empiezan a ser insuficientes, la competencia por ellos se verá incrementada dificultando en mayor medida el desarrollo del censo poblacional.

2.3.2 Casos Particulares

Para un número inicial de individuos igual a 20

Para un número inicial de individuos igual a 120