Reacciones complejas (Grupo D1)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Reacciones complejas (Grupo D1)
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Rincón Crespo, Kevin Rodríguez Gómez, Javier Sans Jiménez, Alejandro Sesto Muñoz, María Victoria Vallejo Asín, José Manuel Villarino Redondo, Álvaro
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B, que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,

A + B → C.

Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

2 Concentración del reactivo C a lo largo del tiempo

y'(t) = k₁(a₀ − y(t))(b₀ − y(t)), t > 0

6 Reacción consecutiva

Consideramos la reacción A + B → k₁C → k₂D

Para resolverla creamos el sistema siguiente:

[math]y'\ltsub\gt1\lt/sub\gt(t)=k\ltsub\gt1\lt/sub\gt(a\ltsub\gt0\lt/sub\gt − y\ltsub\gt1\lt/sub\gt(t))(b\ltsub\gt0\lt/sub\gt − y\ltsub\gt1\lt/sub\gt(t))[/math]

[math]y'\ltsub\gt2\lt/sub\gt(t)=k\ltsub\gt2\lt/sub\gty\ltsub\gt1\lt/sub\gt(t)[/math]

[math]y\ltsub\gt1\lt/sub\gt(0)=0, y\ltsub\gt2\lt/sub\gt(0)=0[/math]

6.1 La reacción D es más rápida que la reacción C

Tomamos como k1=5, y k2=1; de esta manera la segunda reacción es mucho mas rapido. El tamaño de paso introducido es de h=0.01. Creamos el siguiente código de MatLAB, utilizando los métodos de Euler y de Runge-Kutta:

6.2 La reacción D es más lenta que la reacción C

Tomamos como k₁=1/5, y k₂=1; de esta manera la segunda reacción es más lenta. El tamaño de paso introducido es de h=0.01. Creamos el siguiente código de MatLAB, utilizando los métodos de Euler y de Runge-Kutta:

clear all
%datos
h=input('Introducir tamaño de paso');
y0=[0;0];
z0=[0;0];
t0=0;
tN=10; %Observamos la reacción durante los primeros 10 segundos

%Definimos la variable independiente t
t=t0:h:tN;

%Creamos la matriz de las soluciones para el método de Euler
y=zeros(2,length(t)); 
y(:,1)=y0;

%Creamos la matriz de las soluciones para el método de Runge-Kutta
z=zeros(2,length(t)); 
z(:,1)=y0;

for i=1:length(t)-1
 %euler
 y(:,i+1)=y(:,i)+h*[1*(3-y(1,i))*(1-y(1,i)); 1/5*(y(1,i)-y(2,i))];
 %runge-kutta
 K1=[1*(3-z(1,i))*(1-z(1,i)); 1/5*(z(1,i)-z(2,i))];
 K2=[1*(3-(z(1,i)+h/2*K1(1)))*(1-(z(1,i)+h/2*K1(1))); 1/5*((y(1,i)+h/2*K1(2))-(y(2,i)+h/2*K1(2)))];
 K3=[1*(3-(z(1,i)+h/2*K2(1)))*(1-(z(1,i)+h/2*K2(1))); 1/5*((y(1,i)+h/2*K2(2))-(y(2,i)+h/2*K2(2)))];
 K4=[1*(3-(z(1,i)+h*K3(1)))*(1-(z(1,i)+h*K3(1))); 1/5*((y(1,i)+h*K3(2))-(y(2,i)+h*K3(2)))];
 z(:,i+1)=z(:,i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

figure(1)
hold on
plot(t,y(1,:)) %Concentración de C por Euler
plot(t,y(2,:),'r') %Concentración de D por Euler
plot(t,z(1,:),'k') %Concentración de C por Runge-Kutta
plot(t,z(2,:),'g') %Concentración de D por Runge-Kutta
legend('Concentración de C por Euler','Concentración de D por Euler','Concentración de C por Runge-Kutta','Concentración de D por Runge-Kutta','Location','best')
hold off

A partir de él, obtenemos la siguiente gráfica:

Reacción compleja

Observamos que la reacción C es más rápida que la D, ya que crece más rápidamente. Ambas reacciones se van aproximando al valor de y(t)=1 a medida que avanza el tiempo, lo cual indica que tanto la reacción C como la D tendrán una concentración final de 1 molar. Al cabo de 4.75 segundos, la concentración de la reacción C ya alcanza este valor, mientras que la reacción D crece más lentamente, y no consigue esta concentración hasta pasados 55.17 segundos. Estos valores los hayamos con la ayuda de las herramientas del gráfico de MatLAB.