Campos en Elasticidad
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 16-A |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2014-15 |
| Autores | Araceli Martín, Juan Carlos Durán, Francisco Javier Alcaraz, Álvaro Llera, Clara Callejo, Manuel |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 16-A |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2014-15 |
| Autores | Araceli Martín, Juan Carlos Durán, Francisco Javier Alcaraz, Álvaro Llera, Clara Callejo, Manuel Escudero |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad nos situaremos en el contexto de una placa plana que ocupa la región comprendida entre las parábolas :
- [math]P1: 18y -81x^{2}-1=0 [/math]
- [math]P2: 2y +x^{2}-1=0 [/math]
Para representar la placa se utilizará un sistema de coordenadas curvilíneas tal que:
- [math]x=uv[/math]
- [math] y = \dfrac{1}{2}(u^2-v^2)[/math]
En nuestro análisis, el dominio de [math]u[/math] y [math]v[/math] comprenderá: [math](u,v) \in [1/3,1]x[-1,1][/math]
Contenido
1 º Representación de la placa
1.1 Representación del mallado del sólido
Comenzaremos con la representación de la placa mediante un mallado, utilizando, en el código, la conversión a coordenadas curvilíneas de [math]u[/math] y [math]v[/math].El intervalo que representaremos comprende:
[math](x,y) \in [-1,1]x[-1,1][/math]
Para discretizar los vectores [math]u[/math] y [math]v[/math] utilizaremos un paso [math] h = \dfrac{1}{20}[/math].
Código en Matlab:
h=1/20; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1,2].
v=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv ; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
Los resultados de la representación se ven en la imagen:
2 Líneas coordenadas
Cuando se hace uso de cambio de coordenadas a ciertas coordenadas curvilíneas es útil para el entendimiento de la transformación la representación de las Líneas Coordenadas: Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación ([math]u[/math] ó [math]v[/math]) y manteniendo fija la restante. En este estudio hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a [math]u[/math] o a [math]v[/math] y representar la gráfica que queda en función de la otra variable.
xx11=uu.*0.5;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % ---Coordenadas X de Lïneas coordenadas fijando v
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));
yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % ---Coordenadas Y de Lïneas coordenadas fijando v
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % ---Coordenadas X de Lïneas coordenadas fijando u
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));
yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % ---Coordenadas Y de Lïneas coordenadas fijando u
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
mesh(xx11,yy11,0*xx) % Mallado para vv=0.5.
mesh(xx12,yy12,0*xx) % Mallado para vv=-0.5.
mesh(xx13,yy13,0*xx) % Mallado para vv=1.
mesh(xx14,yy14,0*xx) % Mallado para vv=-1.
mesh(xx15,yy15,0*xx) % Mallado para vv=0.75.
mesh(xx16,yy16,0*xx) % Mallado para vv=-0.75.
mesh(xx17,yy17,0*xx) % Mallado para vv=0.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
hold off % Fin superposición de gráficos
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2ª Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
mesh(xx21,yy21,0*xx) % Mallado para uu=0.5.
mesh(xx22,yy22,0*xx) % Mallado para uu=0.4.
mesh(xx23,yy23,0*xx) % Mallado para uu=1.
mesh(xx24,yy24,0*xx) % Mallado para uu=0.9.
mesh(xx25,yy25,0*xx) % Mallado para uu=0.75.
mesh(xx26,yy26,0*xx) % Mallado para uu=0.65.
mesh(xx27,yy27,0*xx) % Mallado para uu=1/3.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
hold off % Fin superposición de gráficos.
3 Base Natural
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas [math]P1=18y−81x^2−1=0[/math] y [math]P2=2y+x^2−1=0[/math] Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:
[math]x=uv \qquad y=\frac{(u^2−v^2)}{2}[/math]
con u,v definidas en (u,v) ∈ [1/3,1] × [−1,1].
Representación de la placa:
h=1/20; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1,2].
v=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv ; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Muestra varias imágenes. 2º Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
4 Líneas coordenadas y vectores de la base natural
Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado en direccion según el punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante. La base natural será la siguiente: [math] \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2} \qquad \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}[/math]
xx11=uu.*0.5;xx12=uu.*-0.5;xx13=uu.*1;xx14=uu.*-1;xx15=uu.*0.75;xx16=uu.*-0.75;xx17=uu.*0; % ---Coordenadas X de Lïneas coordenadas fijando v
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));
yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % ---Coordenadas Y de Lïneas coordenadas fijando v
xx21=vv.*0.5;xx22=vv.*0.4;xx23=vv.*1;xx24=vv.*0.9;xx25=vv.*0.75;xx26=vv.*0.65;xx27=vv.*(1/3); % ---Coordenadas X de Lïneas coordenadas fijando u
yy21=(1/2).*((0.5.^2)-(vv.^2));yy22=(1/2).*((0.4.^2)-(vv.^2));yy23=(1/2).*((1.^2)-(vv.^2));
yy24=(1/2).*((0.9.^2)-(vv.^2));yy25=(1/2).*((0.75.^2)-(vv.^2));yy26=(1/2).*((0.65.^2)-(vv.^2));yy27=(1/2).*(((1/3).^2)-(vv.^2)); % ---Coordenadas Y de Lïneas coordenadas fijando u
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
mesh(xx11,yy11,0*xx) % Mallado para vv=0.5.
mesh(xx12,yy12,0*xx) % Mallado para vv=-0.5.
mesh(xx13,yy13,0*xx) % Mallado para vv=1.
mesh(xx14,yy14,0*xx) % Mallado para vv=-1.
mesh(xx15,yy15,0*xx) % Mallado para vv=0.75.
mesh(xx16,yy16,0*xx) % Mallado para vv=-0.75.
mesh(xx17,yy17,0*xx) % Mallado para vv=0.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
hold off % Fin superposición de gráficos
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2ª Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
mesh(xx21,yy21,0*xx) % Mallado para uu=0.5.
mesh(xx22,yy22,0*xx) % Mallado para uu=0.4.
mesh(xx23,yy23,0*xx) % Mallado para uu=1.
mesh(xx24,yy24,0*xx) % Mallado para uu=0.9.
mesh(xx25,yy25,0*xx) % Mallado para uu=0.75.
mesh(xx26,yy26,0*xx) % Mallado para uu=0.65.
mesh(xx27,yy27,0*xx) % Mallado para uu=1/3.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
hold off % Fin superposición de gráficos.
plot(xx,yy); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado completo.
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
hold off % Fin superposición de gráficos.
5 º Influencia de un foco de calor
La temperatura proviene de un foco de calor dada por el campo escalar [math]T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2} [/math]
f=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2)); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
contour(xx,yy,f,20); % Define 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2ª Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
max(max(f)) % Valor máximo de la temperatura en toda la región
6 Gradiente de T y curvas de nivel
El gradiente de una función escalar expresa la dirección en la cual el campo crece más rápido. Por otra parte,las curvas de nivel expresan los puntos que se encuentran a la misma altura, en nuestro caso, aquellos que tienen la misma temperatura. Por tanto, si tenemos dos curvas de nivel y estamos en un punto de la menor, el gradiente será el vector de mínima distancia a la otra curva de nivel, siendo por tanto perpendicular a ambas. [math]\nabla T(x,y)= \frac{\partial T}{\partial x} \hat{e_1}+\frac{\partial T}{\partial y}\hat{e_2}=[-2xe^{-(x)^2}(8-y^2+2y)]\hat{e_1}+[(-2y+2)e^{-(x)^2}]\hat{e_2}[/math]
h=1/20; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1,2].
v=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv ; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2));
fx =(-2.*xx).*(exp(-(xx.^2))).*(8-yy.^2+2.*yy);
fy=(exp(-(xx.^2))).*(-2.*yy+2);
hold on
quiver(xx,yy,fx,fy)
contour(xx,yy,f,20);colorbar;
view(2)
hold off % Inicio superposición de gráficos
7 Campo de desplazamientos
Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por [math] \vec{u}(x,y) [/math] . Este vector será [math] \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) [/math] siendo [math] \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}[/math] y [math] \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}[/math]. Como hemos hallado anteriormente [math]\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} [/math]. Tomaremos: [math]\vec{r_o}= x_1 \hat{i} + x_2 \hat{j} + x_3 \hat{k}= uv{e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2){e_2}+w{e_3}[/math]. Con todo esto: [math]\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}[/math] La representación del campo de desplazamiento [math]\vec{u}[/math] será la siguiente:
Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante [math]t_{0}[/math] debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector [math]\vec u[/math]: [math]\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})[/math]
