Ecuación de ondas (grupo 2B)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación de ondas. Grupo 2-B
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2013-14
Autores	Ignacio Díaz-Caneja Camblor Alberto Fernández Pérez Adela González Barbado Lucia López Sánchez Araceli Martín Candilejo Diego Solano López
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Deslizamiento Vertical del Cable.

Consideramos un cable de 10 metros de longitud sujeto por sus extremos. Suponiendo que éste tiene una sección pequeña respecto a su longitud someteremos al cable a pequeñas vibraciones que estudiaremos con una modelización a la ecuación de ondas. Se caracteriza al cable de una masa constante por unidad de volumen, es decir, será homogéneo. Éste, flexible e inextensible a la tracción, únicamente ofrece resistencias en su dirección longitudinal, tangenciales, pero no a esfuerzos de flexión o cortes. Para iniciar el movimiento del cable lo sujetaremos por el centro subiéndolo dos metros y soltándolo.

[math] \begin{cases} u_tt- u_tx=0\\ u(0,t)=0\\ u(10,t)=0\\ u(x,0)=g(x)= 2- |\frac{2}{5}x -2|\\ u_t(x,0)=0 \end{cases} [/math]

Deslizamiento vertical del cable.

1.1 Aproximación por el método del trapecio.

%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=2-abs((xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
    WW=(eye(2*N-2)-dt/2*M)\(eye(2*N-2)+dt/2*M)*WW;
    sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);

1.2 Aproximación por el método de Euler.

1.2.1 Euler Explícito.

%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=2-abs((xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
    WW=WW+dt*M*WW;
    sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);

1.2.2 Euler Modificado.

%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
clear all
L=10;
T=40;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
xint=h:h:L-h;
dt=h;
t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),-1)-diag(ones(1,N-2),1);
K=K/h^2;
F=zeros(N-1,1);
u0=2-abs((xint*2/5-2))';
v0=zeros(N-1,1);
M=[zeros(N-1),eye(N-1);-K,zeros(N-1)];
G=[zeros(N-1,1);F];
W0=[u0;v0];
WW=W0;
sol=zeros(length(t),N+1);
sol(1,:)=[0,W0(1:N-1)',0];
for j=1:length(t)-1
    k1=M*WW;
    WW=(eye(2*N-2)+dt*M/2)*WW+(dt/2)*k1+(dt^2)*M*k1/2;
    sol(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol);

1.3 Aproximación por Fourier con diferentes términos de series.

%utt-uxx=0
%u(0,t)=u(l,t)=0
%u(x,0)=2-abs(0.4x-2)
%ut(x,0)=0
%1 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=1;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
    phi=sin(k/2*pi*x);
    a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2).*phi))/(trapz(x,phi.^2));
    b=0;
    T=a.*cos(k*pi*t/L)/(k*pi/L);
    sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (1)
surf(xx,tt,sol)

%3 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=3;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
    phi=sin(k/2*pi*x);
    a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2).*phi))/(trapz(x,phi.^2));
    b=0;
    T=a.*cos(k*pi*t/L)/(k*pi/L);
    sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (2)
surf(xx,tt,sol)

%5 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=5;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
    phi=sin(k/2*pi*x);
    a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2).*phi))/(trapz(x,phi.^2));
    b=0;
    T=a.*cos(k*pi*t/L)/(k*pi/L);
    sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (3)
surf(xx,tt,sol)

%10 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=10;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
    phi=sin(k/2*pi*x);
    a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2).*phi))/(trapz(x,phi.^2));
    b=0;
    T=a.*cos(k*pi*t/L)/(k*pi/L);
    sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (4)
surf(xx,tt,sol)

%20 iteracion
clear all
L=10;
T=40;
Q=20;
h=0.1;
N=L/h;
x=0:h:L;
dt=h;
t=0:dt:T;
sol=zeros(length(t),N+1);
for k=1:Q
    phi=sin(k/2*pi*x);
   a=trapz(x,(2-abs(2/5*x-2).*phi))/(trapz(x,phi.^2));
    b=0;
    T=a.*cos(k*pi*t/L)/(k*pi/L);
    sol=sol+T'*phi;
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure (5)
surf(xx,tt,sol)

2 Energía del Cable.

La energía del cable que viene definida por la función: \begin{equation} E(t) = \int_{0}^{L} (u_{t}^{2}(x,t)+ u_{x}^{2}(x,t)) \cdot dx \end{equation}

FUNCION:

function v = deriva(x,y,t)

n = length(x);
del=zeros(1,n);

if t==1
    
    i=1;
    del(1)=(y(i)-y(i+1))/(-x(i)+x(i+1));

    for i=2:n
    del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
    end 
    
elseif t==-1

    for i=1:n-1
    del(i)=(y(i)-y(i+1))/(x(i)-x(i+1));
    end 
    
    i=n;
    del(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));
    
elseif t==0
    
    i=1;
    del(1)=(y(i)-y(i+1))/(+x(i)-x(i+1));
    
    for i=2:n-1
    del(i)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*(x(i)-x(i-1)));
    end 
    
    i=n;
    del(n)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));  
    
end

v=del;

end

PROGRAMA:

clc;clear all;
L=10;dx=0.1;N=L/dx;
x=dx:dx:L-dx;
xtot=0:dx:L;
T=40;dt=0.1;t=0:dt:T;
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
U=(2-abs((x*2/5-2)))';
V=(0*x)';
sol(1,:)=[0 U' 0];
for i=1:length(t)-1;
    U=U+dt*V;
    V=V-dt*K*U;
    sol(i+1,:)=[0 U' 0];
end
%DERIVAMOS LA SOLUCION EN x Y EN t:
dsol_dx=ones(size(sol));
for i=1:length(t)
    dsol_dx(i,:)=deriva(sol(i,:),xtot,0);
end

dsol_dt=ones(size(sol));
for i=1:length(xtot)
    dsol_dt(:,i)=deriva(sol(:,i),t,1); 
end
%SUMAMOS LAS DERIVADAS AL CUADRADO E INTEGRAMOS:
dE=zeros(1,size(t,1));
for i=1:length(xtot)
    dE=dE+(dsol_dt(i,:).^2+dsol_dx(i,:).^2)*dx;
end
xtot=0:dx:L;
[xx,tt]=meshgrid(xtot,t);
figure(1)
surf(xx,tt,dsol_dx);
figure(2)
surf(xx,tt,dsol_dt);