Ecuación del calor LAJS

1 Introducción

El objetivo de este trabajo será dibujar diferentes soluciones de la ecuación del calor en una dimensión, lo que nos ayudará a tener una idea más gráfica e intuitiva sobre las soluciones de este problema que hemos estudiado en clase.

2 Planteamiento del problema

Comenzamos considerando una varilla metálica que ocupa el intervalo [math][0, 1][/math] y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de forma que la conducción de calor únicamente ocurre en dirección longitudinal. La temperatura inicial de la varilla será de [math]10ºC[/math]. En el extremo derecho la temperatura se mantiene en [math]10ºC[/math], mientras que en el izquierdo la temperatura es siempre de [math]1ºC[/math]. Por tanto, si consideramos las constantes de conductividad térmica y calor específico iguales a uno, la ecuación que modeliza nuestro problema queda [math]u_t - u_{xx}=0, \quad x \in (0,1), \ t \gt 0[/math], sujeta a las condiciones de contorno [math]u(0,t) = 1[/math] (extremo izquierdo) y [math]u(1,t) = 10[/math] (extremo derecho). Por último, la condición inicial será [math]u(x,0) = 10 \quad \forall x \in [0,1][/math]. El sistema de EDPs que modeliza nuestro problema queda:

[math]\begin{cases} u_t - u_{xx}=0 & \text{en } (0,1) \times (0, \infty) \\[10pt] u(0,t) = 1 & t \gt 0 \\[5pt] u(1,t) = 10 & t \gt 0 \\[5pt] u(x,0) = 10 & x \in [0,1] \end{cases}[/math]

En cuanto a la ecuación del estado estacionario, sabemos que ocurre al suponer [math]t \to \infty [/math] y que por tanto la solución ya no varía en tiempo, es decir, cuando [math] u_t \sim 0 [/math]. Entonces el problema para la solución estacionaria es

[math]\begin{cases} - v_{xx}=0 & \text{en } (0,1) \\[10pt] v(0) = 1 \\[5pt] v(1) = 10 \end{cases}[/math]

Lo que nos da una EDO que se resuelve fácilmente y se llega a la solución [math] v(x)=9x+1 [/math]. En la siguiente imagen podemos ver la gráfica de esta solución, que representa la temperatura que observaríamos si dejáramos pasar mucho tiempo bajo las condiciones descritas.

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  Visualización de la solución estacionaria

3 Solución del problema y visualización

A continuación hallamos la solución al problema original, que lo haremos por el método de separación de variables. La forma de resolverlo es considerando la solución como la suma del estado estacionario y una solución transitoria [math]w(x,t)[/math] que cumple condiciones de contorno, es decir, [math]u(x,t) = v(x) + w(x,t)[/math]. La parte [math]w(x,t)[/math] se calcula mediante la serie de Fourier [math]w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n e^{-(n\pi)^2 t} \sin(n\pi x)[/math], donde los coeficientes [math]b_n[/math] se calculan a partir de la condición inicial [math]w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = 9 - 9x[/math]. La solución final a nuestro problema es:

[math]u(x,t) = (9x + 1) + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{18}{n\pi} \right) e^{-(n\pi)^2 t} \sin(n\pi x)[/math]

Para la visualización de esta solución hemos creado un código en Matlab que nos da una gráfica tridimensional, que utiliza los primeros 10 términos de la serie de Fourier en el intervalo de tiempo [0, 1]. En la imagen que genera el código podemos observar que el extremo derecho de la varilla comienza en una temperatura de [math]10^{\circ}C[/math], y sin embargo, en el extremo izquierdo la temperatura cae hasta [math]1^{\circ}C[/math]. Además se observa el fenómeno de Gibbs en la gráfica: las oscilaciones que se ven cerca de [math]t=0[/math] y [math]x=0[/math] son una consecuencia de usar solo 10 términos de la serie de Fourier. Al intentar aproximar una discontinuidad (el salto de [math]10^{\circ}C[/math] a [math]1^{\circ}C[/math]), aparecen estas oscilaciones que desaparecen a medida que el tiempo avanza y la solución se suaviza. Se aprecia que cerca de [math]t=1[/math], la superficie es prácticamente una superficie plana inclinada, lo que indica que el sistema ha alcanzado o está muy cerca de su estado estacionario.

% Parámetros iniciales
L = 1;  
t_final = 1;
Nx = 50;            
Nt = 50;            

x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, t_final, Nt);
[X, T] = meshgrid(x, t);

% Solución estacionaria: v = 9x + 1 
V = 9*X + 1;

% Parte transitoria: suma de los primeros 10 términos de Fourier 
W = zeros(size(X));
for n = 1:10
    bn = 18 / (n * pi);
    W = W + bn * exp(-(n*pi)^2 * T) .* sin(n*pi * X);
end

% Solución final: u(x,t) = v(x) + w(x,t) 
U = V + W;

% Gráfica
figure;
surf(X, T, U);
shading interp; % Suaviza los colores
colorbar;
title('Evolución de la Temperatura (Primeros 10 términos)');
xlabel('Posición (x)');
ylabel('Tiempo (t)');
zlabel('Temperatura (u)');
grid on;

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  Gráfica de la solución

4 Estudio del flujo de calor en los extremos

Para analizar el flujo de calor en los extremos de la barra a lo largo del tiempo utilizamos la ley de Fourier, que asegura que el flujo es proporcional al gradiente de temperatura: [math]q = -k u_x[/math]. Como en el problema hemos asumido que la conductividad térmica era uno, resulta que el flujo es igual a la derivada espacial evaluada en los bordes de la barra. La derivada respecto de [math]x[/math] que obtuvimos antes es:

[math]\frac{\partial u}{\partial x} = 9 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n n\pi e^{-(n\pi)^2 t} \cos(n\pi x)[/math]

De nuevo, hemos desarrollado un código en Matlab para dibujar la evolución del flujo entrante y saliente.

5 Efecto de cambiar la conductividad

Ahora vamos a cambiar la conductividad térmica de la varilla de [math]\alpha=1[/math] a [math]\alpha=1/2[/math]. Esto quiere decir que ahora el calor se mueve de manera más lenta a lo largo de la varilla. Entonces tenemos que con este cambio la nueva ecuación del calor es:

[math]u_t - \frac{1}{2}u_{xx}=0[/math]

La nueva solución es muy parecida a la de antes:

[math]u(x,t) = (9x + 1) + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{18}{n\pi} \right) e^{-(n\pi)^2 t/2} \sin(n\pi x)[/math]

6 Construcción con serie de Fourier real

Para [math]x \in [-1, 1][/math], definimos la función [math]f_{\sigma}(x)[/math] mediante la siguiente expresión:

[math]f_{\sigma}(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} [a_n \cos(\pi n x) + b_n \sin(\pi n x)][/math]

6.1 Propiedades de los coeficientes

Como vimos en el anterior trabajo, podemos elegir los coeficientes de Fourier de forma aleatoria. Los coeficientes [math]a_n[/math] y [math]b_n[/math] se considerarán variables aleatorias independientes siguiendo una distribución simétrica (con media cero). Los ejemplos para este trabajo, igual que en el anterior serán:

• Distribución Uniforme: [math]a_n, b_n \sim \mathcal{U}[-c_n, c_n][/math]
• Distribución Normal: [math]a_n, b_n \sim \mathcal{N}(0, \sigma_n^2)[/math]

6.2 Función acotada

Para garantizar que la función sea acotada, es decir, que [math]|f_{\sigma}(x)| \leq M[/math], se pueden seguir dos enfoques:

1. Normalización: Elegir coeficientes acotados y aplicar un proceso de normalización.
2. Suma de coeficientes pequeños: Aprovechar el hecho de que una suma de senos y cosenos con coeficientes suficientemente pequeños produce funciones acotadas.

7 Ecuación del calor y solución con dato inicial [math]f_{\sigma}[/math]

Consideramos el problema de Cauchy en [math]\mathbb{R}[/math]:

[math]\begin{cases} u_t = u_{xx}, \\ u(x,0) = f_{\sigma}(x), \end{cases} x \in \mathbb{R}, t \gt 0,[/math]

con [math]f_{\sigma}[/math] de soporte en [math](-1, 1)[/math]. La solución viene dada por la convolución con la solución fundamental de la ecuación del calor:

[math]u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x - y, t) f_{\sigma}(y) \, dy, \quad G(z,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-z^2/(4t)}.[/math]

8 Promedio de la temperatura en [math]x = 0[/math] a lo largo del tiempo

Calculamos la esperanza matemática de la temperatura, fijando [math] x=0 [/math]. Por las propiedades de la esperanza,

[math]\mathbb{E}[u(0,t)] = \int_{-\infty}^{\infty} G(-y, t) \mathbb{E}[f_{\sigma}(y)] \, dy = 0,[/math]

porque [math]\mathbb{E}[f_{\sigma}(y)] = 0[/math] (los coeficientes tienen media cero). Por tanto, la temperatura esperada en [math]x = 0[/math] es nula para todo [math]t \gt 0[/math].