La Cicloide (Grupo 49)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La Cicloide. Grupo 49. |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Bruno Goméz Vergara Irene Yuan González Laruas Elisa Amelia Lincango Sarango Belén Mena Velasco Adrián Menéndez Alonso |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
Se considera la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, donde R es un número positivo fijado:
[math] γ(t) = (x(t), y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)) = (3(t-sint),3(1-cost))[/math], [math] t ∈ (0,2π)[/math]
2 Representación de la curva
Se dibuja la curva empleando el siguiente código en MATLAB:
% Datos
R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); %dominio
% Ecuaciones parametricas
X=R*(t-sin(t));
Y=R*(1-cos(t));
%Dibujo
figure;
plot(X,Y,'red','LineWidth',1);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');3 Vector velocidad y aceleración
3.1 Cálculo de los vectores velocidad y aceleración
Se sabe que la velocidad es la derivada de la curva respecto de t, por tanto:
Vector velocidad:
[math] γ'(t)= (x’(t)\vec i + y’ (t)\vec j) = (3 (1-cos t )\vec i + 3 (sin t)\vec j) [/math]
Y por consiguiente, la aceleración es la derivada de la velocidad respecto de t:
Vector aceleración:
[math] γ''(t)= (x’’(t)\vec i + y’’ (t)\vec j) = (3 (sint )\vec i + 3 (cos t)\vec j) [/math]
3.2 Representación de los vectores velocidad y aceleración
Representación de la velocidad en MATLAB:
R=3;
% Dominio
t=linspace(0,2*pi,100);
% Ecuaciones paramétricas
X=R*(t-sin(t));
Y=R*(1-cos(t));
% Vectores de la velocidad
vx=R*(1-cos(t));
vy=R*(sin(t));
% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
% Dibujo vectores velocidad
for i=1:3:100
quiver(X(i),Y(i),vx(i),vy(i),1,'color','green','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,max(Y)+2])
legend('Cicloide','Vectores de velocidad','location','best');
hold off
Representación de la aceleración en MATLAB:
R=3;
% Dominio
t=linspace(0,2*pi,100);
% Ecuaciones paramétricas
X=R*(t-sin(t));
Y=R*(1-cos(t));
% Vectores aceleración
ax=R*(sin(t));
ay=R*(cos(t));
% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
%Dibujo vector aceleración
for j=1:3:100
quiver(X(j),Y(j),ax(j),ay(j),1,'color','m','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,8])
legend('Cicloide','Vectores de aceleración','location','best');
hold off
4 Longitud de la curva
4.1 Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica
Se define la longitud de la curva como:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(3-3cost)^2 +(3sent)^2}dt [/math]
Como es demasiado complicado de calcular la integral de manera teórica se emplea MATLAB.
4.2 Cálculo de la longitud de la curva con el 'Método del rectángulo' en MATLAB
5 Vector tangente y normal de la curva
5.1 Cálculo de la tangente
Para poder calcular la tangente se comienza con el módulo de la velocidad:
[math] |γ′(t)|= \sqrt{9((1- cost)^2+sen^2t)} [/math]
Ahora, sabiendo su resultado, se define el vector tangente como:
[math] \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{3((1-cost)\vec i + (sint)\vec j)}{3(\sqrt{2-2cost})} = \frac{(1-cost)\vec i + (sint)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}[/math]
5.2 Cálculo de la normal
Producto vectorial [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math]\vec v × \vec a=\begin{bmatrix}
\vec i& \vec j& \vec k\\
1-cost& sent &0\\
sent & cost & 0
\end{bmatrix} = 9(cost-cos^2t-sen^2t)=9(cost-1)= -9(1-cost)\vec k [/math]
Módulo de [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math] |\vec v × \vec a|= \sqrt{9^2 (cost-1)^2}= 9\sqrt{cos^2t-2cost+1}= 9(1-cost) [/math]
Vector binormal:
[math]\vec b= \frac{\vec v × \vec a}{|\vec v × \vec a|}= \frac{-9(1-cost)}{ 9(1-cost)}=-1=-\vec k [/math]
Vector normal:
[math] \vec n(t) = \vec b× \vec t=\frac{1}{\sqrt{2+2cost}}\begin{bmatrix}
\vec i& \vec j& \vec k\\
0& 0 &-1\\
1-cost& sent & 0
\end{bmatrix} = \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}
[/math]
6 Curvatura
Se conoce la fórmula de la curvatura de manera geométrica como:
[math] \kappa\ (t)=\frac{|\vec v × \vec a|}{|\vec v|^3}=\frac{9(1-cost)}{(3 \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{3(1-cost)}{3( \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{1-cost}{6\sqrt2(1-cost)\sqrt{1-cost}}= \frac{1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} [/math]
Sin embargo, esta solo determina cuanto se curva a cicloide, por tanto empleamos la siguiente fórmula:
[math] \kappa\ (t)=\frac{x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t)}{(x'(t)^2 + y'(t)^2)^\frac{3}{2}}= \frac{(3(1-cost))((3cost))-((3sent))((3sent))}{((3sin(t)^2)(3cos(t)^2))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} [/math]
6.1 Representación de la curvatura
% Parámetros
% Rango de t
t=linspace(0,2*pi,100);
% Curvatura de la cicloide
k= (-1)./(6*sqrt(2)*(sqrt(1-cos(t))));
% Dibujo de la curvatura
hold on
plot(t,k,'b','LineWidth',2);
axis equal;
grid on;
title('Curvatura de la Cicloide');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold off;
7 La Cicloide en la ingeniería civil
7.1 Museo del Arte Kimbell
Uno de los ejemplos más famosos del uso de la cicloide en al arquitectura moderna. El arquitecto Louis Kahn y el ingeniero civil August Komendant, diseñaron el techo del museo compuesto de una serie de bóvedas de cañón, las cuales eran cicloides.
7.2 Cycloïd Piazza
Una instalación creada por Raphaël Zarka, fue inagurada en 2024 en la plaza del Centre Pompidou de París. La estructura es una escultura formada por superficies curvas basadas en la cicloide.
7.3 Hopkins Center for the Arts
8 Superficie Reglada
Utilizando como base la cicloide se construye una superficie reglada de la siguiente forma:
[math] Φ(u,v) = (u,3(1-cos v),3(1-cos v)), u \in [0,1],v \in [0,2π)
[/math]
8.1 Representación de la superficie
%Definir espacio de trabajo
R=3;
u=linspace(0,1,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
% Creación de la malla de puntos
[U,V]=meshgrid(u,v);
%funciones de cicloide
x1=U;
x2=R.*(V-sin(V));
x3=R.*(1+cos(V));
%Gráfico
figure;
mesh(x1,x2,x3);
title('La Cicloide en 3D');
xlabel('x1');
ylabel('x2');
zlabel('x3');
axis equal;
grid on;
9 Cálculo de la Masa
Se proporciona la siguiente función de densidad: [math] ρ(x_1,x_2,x_3)=(1+x_1)(1+x_2)x_3[/math]
El elemento diferencial es: [math] dS=6sen(v/2)dudv[/math]
[math]M=\iint ρ(Φ(u,v))||\vec r_u × \vec r_u||\,du\,dv[/math]
rho=@(u,v)(1 + u).*(1+R*(v-sin(v))).*(R*(1+cos(v))).*(2*R*sin(v/2));
Masa=integral2(rho,0,1,0,2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n',Masa);Se obtiene un resultado de unas 750.5792 unidades.
10 Bibliografía
https://arquitecturaviva.com/works/museo-de-arte-kimbell-fort-worth#lg=1&slide=0 https://purodiseno.lat/tendencias/un-artista-diseno-una-espectacular-pista-de-skate-en-el-centro-pompidou-para-los-juegos-olimpicos-paris-2024/
