Diferencia entre revisiones de «El Vórtice de Rankine (Grupo47)»

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1 Introducción

El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

2 Historia

La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

3 Representación del flujo

3.1 Velocidad tangencial

Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización. Si la trayectoria viene dada por [math]\vec{r}(t)[/math], el vector velocidad es [math]\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)[/math], y la velocidad tangencial se define como:

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo y lleva la dirección del vector tangente unitario:

3.2 Circulación

3.2.1 Definición

La circulación [math]Γ[/math] es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas): [math]\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad [/math] con [math]\quad v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm] \dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R \end{cases}\quad[/math] y [math]R[/math] como el radio del núcleo del vórtice.

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: [math]\rho = \text{R}[/math]

Al remplazarlo en la función se obtiene que: [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} [/math]. Es decir, la circulación se define como: [math]{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R [/math]

3.2.2 Cálculos

Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

[math]R = 250m\quad[/math];[math]\quad v_{\theta} = 90m/s[/math]

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de [math]{\Gamma}[/math]: [math]\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 [/math]

Finalmente obtenemos la circulación:

[math]{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} [/math] o bien [math]{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} [/math]

3.2.2.1 Representación

A continuación se muestra la representación del campo de velocidad tangencial 𝑣𝜃(𝜌) para 𝜌 ∈ [0, 1000] m en un plano horizontal.

CÓDIGO MATLAB

GRÁFICA

MATLAB % vórtice de Rankine Gamma = 141371.67; R = 250; rho_max = 1000; rho_min=0; % Malla N = 201; x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%----------- y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%--corregido [X,Y] = meshgrid(x,y); rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); theta = atan2(Y,X); % V_theta, definición de Rankine v_theta = zeros(size(rho)); inside = rho <= R & rho>0; outside = rho > R; v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2)); v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside)); v_theta(rho==0) = 0; % Conversión a cartesianas U = -v_theta .* sin(theta); V = v_theta .* cos(theta); % quiver step = 6; Xs = X(1:step:end,1:step:end); Ys = Y(1:step:end,1:step:end); Us = U(1:step:end,1:step:end); Vs = V(1:step:end,1:step:end); rhos = rho(1:step:end,1:step:end); % Separar vectores dentro y fuera mask_inside = rhos <= R & rhos > 0; mask_outside = rhos > R; Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside); Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside); Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside); Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside); % colorear fondo speed = sqrt(U.^2 + V.^2); % Figura figure('Color','w') hold on % Mapa de colores (magnitud) h = pcolor(X, Y, speed); set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35) colormap(parula) c = colorbar; c.Label.String = 'Velocidad (m/s)'; uistack(h,'bottom') % Vectores dentro del núcleo (rojo) q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2); q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo q1.LineWidth = 1.2; % Vectores fuera del núcleo (azul) q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2); q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul q2.LineWidth = 1.0; % Círculo del núcleo t = linspace(0,2*pi,400); plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3) text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10) axis equal xlim([-rho_max rho_max])%----------- ylim([-rho_max rho_max])%--corregido xlabel('x (m)') ylabel('y (m)') title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine') hold off

3.3 Campo de velocidad

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

[math] \vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0 [/math]

donde

[math] v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho \gt R. \end{cases} [/math]

3.3.1 Divergencia

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas cuando [math]\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)[/math]:

[math] \nabla\cdot\vec{v} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z} [/math]

En este caso

[math] v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho) [/math]

Por tanto, cada término de la divergencia es

[math] \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0 [/math]

[math] \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 [/math]

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

[math] \nabla \cdot \vec{v} = 0 [/math]

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es incompresible y que no existen ni fuentes ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad constante.

3.3.2 Rotacional

La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

[math] \vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z [/math]

es

[math] \nabla\times\vec{v} = \left( \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial z} \right)\vec{e}_\rho + \left( \frac{\partial v_\rho}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial \rho} \right)\vec{e}_\theta + \left( \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta} \right)\vec{e}_z. [/math]

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- [math]v_\rho = 0[/math] - [math]v_z = 0[/math] - [math]v_\theta = v_\theta(\rho)[/math] (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

[math] (\nabla\times\vec{v})_\rho = \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial z} = 0 - 0 = 0. [/math]

2. Componente azimutal:

[math] (\nabla\times\vec{v})_\theta = \frac{\partial v_\rho}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial \rho} = 0 - 0 = 0. [/math]

3. Componente vertical:

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}. [/math]

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

[math] v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho, [/math]

[math] \rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2}, [/math]

[math] \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta) = \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho. [/math]

Entonces

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = \frac{1}{\rho}\, \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho = \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}. [/math]

Para ρ > R:

[math] v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, [/math]

[math] \rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi}, [/math]

y como es constante,

[math] \frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0, [/math]

por lo que

[math] (\nabla\times\vec{v})_z = 0. [/math]

Dando como resultado final

[math] \nabla\times\vec{v} = \begin{cases} (0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt] (0,\,0,\,0), & \rho \gt R. \end{cases} [/math]

3.3.3 Campo Escalar

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial. Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

3.3.3.1 Representación

Código MATLAB

Gráfico obtenido

% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ---- R = 250; vR = 90; Gamma = vR * 2*pi*R; N = 400; x = linspace(-800,800,N); y = linspace(-800,800,N); [X, Y] = meshgrid(x, y); rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); omega_mag = zeros(size(rho)); omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2); figure; contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none'); c = colorbar; c.Label.String = '|∇×v| (1/s)'; xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); title('Magnitud del rotacional |∇×v|'); hold on; th = linspace(0,2*pi,400); plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); 3.3.3.2 Análisis 4 Campo de presión 4.1 Definición El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula: [math] p(\rho,z) = \begin{cases} P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt] P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \gt R, \end{cases} [/math] 4.2 Cálculos Datos: P0 = 92 000 Pa P∞ = 101 325 Pa [math]\rho[/math] = 1,225kg/m^3 4.3 Representación Código MATLAB Gráfica obtenida clc, clear % Datos P0 = 92000; % Pa Pinf = 101325; % Pa rho_air = 1.225; % kg/m^3 Gamma = 1.4137e5; % m^2/s R = 250; % m g = 9.81; % m/s^2 % Mallado rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m] z = linspace(0,2800,300); % altura [m] % Crear mallas 2D [RHO, Z] = meshgrid(rho, z); % Velocidad tangencial v_theta vtheta = zeros(size(RHO)); % Dentro del núcleo inside = RHO <= R; vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside); % Fuera del núcleo outside = RHO > R; vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside)); % Campo de presión p(rho,z) p = zeros(size(RHO)); % Dentro del núcleo p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside); % Fuera del núcleo p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside); % ---- Dibujo del campo de presiones ---- figure; contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K'); c = colorbar; c.Label.String = 'Presión (Pa)'; xlabel('\rho [m]'); ylabel('z [m]'); title('Campo de presión p(\rho,z)'); 5 Otros Vórtices 5.1 Diferentes tipos de vórtices atmosféricos 5.1.1 Tornados Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos. Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad. Escala Fujita Mejorada (EF) Categoría Velocidad del viento (km/h) EF0 105–137 EF1 138–178 EF2 179–218 EF3 219–266 EF4 267–322 EF5 ≥ 323 5.1.2 Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados. 5.1.3 Dust Devil Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos. 5.1.4 Vórtice de estela Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto. 5.2 Diferencias 5.2.1 Escala Diferencia de Escala Tipo Diametro (m) Altura (m) Tornados 10-2.000 100-1.000 Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales 100.000-600.000 10.000-20.000 Dust Devil 1-10 10-100 Vórtice de estela 0-10 0-10 (pero descienden cientos de metros) 5.2.2 Intensidad Diferencia de Escala Tipo Velocidad de traslación (km/h) Velocidad del viento (km/h) Tornados 10-100 100-330+ Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales 15-50 120-250+ Dust Devil 10-30 20-70 Vórtice de estela 0-1000 (depende de la velocidad del objeto) 100-200 5.2.3 Formación Diferencia de formación Tipo Formación Fuente de energía Condiciones Tornados Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento Dust Devil Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental Vórtice de estela 219–266 5.3 Modelo de Burgers-Rott