Diferencia entre revisiones de «El Vórtice de Rankine (grupo 64)»

Revisión del 19:25 4 dic 2025

1 Campo de velocidades

En coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), el campo de velocidad del vórtice de Rankine es:

[math]\vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta}[/math]

donde

[math] v_{\theta}(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \text{si } \rho \le R,\\[6pt] \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \text{si } \rho \gt R. \end{cases} [/math]

Aquí, [math]R[/math] es el radio del núcleo del vórtice (el «ojo») y [math]\Gamma[/math] es la circulación total, que determina la intensidad del vórtice. El vórtice se extiende desde el suelo hasta la altura [math]z_{0}[/math].

Calcular \(\Gamma\):

[math] \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho = v_{\theta}(R) = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,R \Rightarrow v_{\theta}(R) = 90 [/math]

[math] \Rightarrow \Gamma = 90 \cdot 2\pi R = 45\,000\,\pi \,\frac{m^{3}}{s} \approx 141\,371{,}6694 \,\frac{m^{3}}{s} [/math]

[math] [\Gamma] = \left[\frac{m}{s}\cdot m^{2}\right] = \left[\frac{m^{3}}{s}\right] [/math]

Campo de velocidad tangencial \(v_{\theta}(\rho)\) para \(\rho \in [0,1000]\) m en plano horizontal:

[math] v_{\theta}(\rho) = \begin{cases} \dfrac{9\,\rho}{25}, & \rho \in [0,250]\\[6pt] \dfrac{22\,500}{\rho}, & \rho \in (250,1000] \end{cases} [/math]

Campo velocidades

R = 250;           % Radio del núcleo (m)
vR = 90;           % Velocidad tangencial en rho = R (m/s)
rho_max = 1000;    % Límite máximo para la gráfica (m)
% Cálculo de la circulación Gamma a partir de v_theta(R)
Gamma = vR * 2 * pi * R;
fprintf("Gamma = %.4e m^2/s\n", Gamma);
% Malla radial
rho = linspace(0, rho_max, 2000);
vtheta = zeros(size(rho));
% Fórmula del vórtice de Rankine
% Interior (rotación sólida): v = (Gamma/(2*pi*R^2)) * rho
% Exterior (vórtice potencial): v = Gamma/(2*pi*rho)
idx_core = (rho <= R);
idx_outer = ~idx_core;
vtheta(idx_core)  = (Gamma./(2*pi*R^2)) .* rho(idx_core);
vtheta(idx_outer) = (Gamma./(2*pi)) ./ rho(idx_outer);
figure('Color','w','Units','normalized','Position',[0.2 0.2 0.5 0.5]);
plot(rho, vtheta, 'LineWidth', 2); hold on;
% Línea vertical en R
yL = ylim;
plot([R R], yL, '--k', 'LineWidth', 1.5);
% Marcar punto en (R, vR)
plot(R, vR, 'or', 'MarkerFaceColor', 'r');
% Anotaciones
text(R + 10, 0.95*yL(2), sprintf('\\rho = R = %g m', R), 'FontSize', 10);
xlabel('\rho (m)', 'FontSize', 12);
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)', 'FontSize', 12);
title('Vórtice de Rankine: velocidad tangencial v_\theta(\rho)', 'FontSize', 13);
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', 'v_\theta(R)', 'Location', 'northeast');
grid on; box on;
xlim([0 rho_max]);

2 Campo vectorial de velocidades

[math] \text{Campo vectorial } \vec{v},\; x,y \in [-800,800] [/math]

[math] \vec{v} = v_{\theta}\,\vec{e}_{\theta} = \begin{cases} 22500\,\dfrac{\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in [0,250],\\[6pt] 22500\,\dfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_{\theta}, & \rho \in (250,1000]. \end{cases} [/math]

R = 250;       % Radio del núcleo (m)
vR = 90;       % Velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = vR*2*pi*R;
xmax = 800;    % Dominio x, y
ymax = 800;
N = 40;        % Número de vectores por eje

x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

Vtheta = zeros(size(rho));
idx_core = (rho <= R & rho>0);  % núcleo (evitar rho=0)
idx_outer = (rho > R);

Vtheta(idx_core)  = (Gamma./(2*pi*R^2)) .* rho(idx_core);
Vtheta(idx_outer) = (Gamma./(2*pi)) ./ rho(idx_outer);

Vx = -Vtheta .* sin(theta);
Vy =  Vtheta .* cos(theta);


figure('Color','w'); hold on;

% Núcleo en azul
quiver(X(idx_core), Y(idx_core), Vx(idx_core), Vy(idx_core), 'b');

% Región exterior en rojo
quiver(X(idx_outer), Y(idx_outer), Vx(idx_outer), Vy(idx_outer), 'r');

% Dibujar círculo del núcleo (R)
theta_c = linspace(0,2*pi,200);
xc = R*cos(theta_c);
yc = R*sin(theta_c);
plot(xc, yc, '--k','LineWidth',1.5);

% Ajustes gráficos
xlabel('x (m)','FontSize',12);
ylabel('y (m)','FontSize',12);
title('Campo vectorial \bfv del vórtice de Rankine','FontSize',13);
axis equal;
xlim([-xmax xmax]); ylim([-ymax ymax]);
grid on; box on;

legend('núcleo (\rho ≤ R)','región exterior (\rho > R)','Ubicación del núcleo','Location','northeast');

3 Comparativa entre la realidad física y el modelo

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático idealizado por lo que no tiene en cuenta factores físicos reales como las turbulencias, la fricción, el intercambio de calor, las fluctuaciones reales del viento o la convección vertical. Estas simplificaciones resultan útiles para el estudio de fenómenos atmosféricos por lo que, a pesar de no describir la realidad de manera fidedigna, existen similitudes entre ellos:

-Estos fenómenos atmosféricos poseen un núcleo donde el flujo rota casi como un sólido rígido, es decir, casi como el modelo de Vórtice de Rankine.
-El perfil radial de velocidades de estos fenómenos se aproxima muy bien con el modelo de vórtice de Rankine, es decir, coinciden en la forma en la que la velocidad varía en función de la distancia al centro.
-Los fenómenos muestran un descenso de la presión hacia el centro al igual que ocurre en el modelo.

En este apartado se expondrán diferentes fenómenos físicos reales que se pueden llegar a aproximar parcialmente mediante el Modelo de Rankine:

4 Divergencia del campo de velocidad

[math] \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho v^{\rho})}{\partial \rho} + \frac{\partial (v^{\theta})}{\partial \theta} + \frac{\partial (r v^{z})}{\partial z} \right) = \frac{1}{\rho}\left( 0 + \frac{\partial (22500\,\tfrac{\rho}{R^{2}})}{\partial \theta} + 0 \right) = 0, \quad \text{para } \rho \in [0,250] [/math]

[math] \nabla \cdot \vec{v} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial (22500\,\tfrac{1}{\rho})}{\partial \theta} \right) = 0, \quad \text{para } \rho \in [250,1000] [/math]

Significa que el flujo no crea ni destruye masa alrededor del vórtice. El movimiento giratorio ocurre sin que el fluido se acerque ni se aleje radialmente de forma neta. No aspira ni expulsa fluido, no hay fuentes ni sumideros en el centro; no hay velocidad radial ni variación de volumen local.

Con [math]\nabla \cdot \vec{v} \neq 0[/math] el vórtice colapsaría o se expandiría.

5 Rotacional del campo de velocidad

[math] \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} [/math]
[math] \nabla \times \vec{v} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ v_{\rho} & \rho v_{\theta} & v_{z} \end{vmatrix} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 22500 \dfrac{\rho^{2}}{R^{2}} & 0 \end{vmatrix} [/math]

[math] = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho} \left(22500 \frac{\rho^{2}}{R^{2}}\right)\vec{e}_{z} = \frac{1}{\rho}\,22500\,\frac{2\rho}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} = \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z}, \quad \text{para } \rho \in (0,250] [/math]

[math] \nabla \times \vec{v} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta} & \vec{e}_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 22500 \dfrac{\rho}{\rho} & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{\rho}\,\vec{0} = \vec{0}, \quad \text{para } \rho \in (250,1000],\; z \in [0,z_{0}] [/math]

6 el campo escalar |∇ × ⃗𝑣|

[math] \left\lvert \nabla \times \vec{v} \right\rvert = \left\lvert \frac{45000}{R^{2}}\,\vec{e}_{z} \right\rvert = \frac{45000}{R^{2}} [/math]

R = 250;       % Radio del núcleo (m)
vR = 90;       % Velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = vR*2*pi*R;

xmax = 800;
ymax = 800;
N = 400;  % Resolución fina
x = linspace(-xmax, xmax, N);
y = linspace(-ymax, ymax, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
idx_core = (rho <= R & rho>0);
idx_outer = (rho > R);

omega_mag(idx_core) = Gamma/(pi*R^2); % núcleo
omega_mag(idx_outer) = 0;             % exterior

figure('Color','w');
imagesc(x,y,omega_mag)        % mapa de colores
axis equal tight
set(gca,'YDir','normal')
colormap(jet)
cb = colorbar;
cb.Label.String = '\omega (1/s)';
cb.Label.FontSize = 12;

xlabel('x (m)','FontSize',12)
ylabel('y (m)','FontSize',12)
title('Magnitud de la vorticidad |\nabla × v| del vórtice de Rankine','FontSize',13)

hold on

% Círculo del núcleo
theta_c = linspace(0,2*pi,200);
xc = R*cos(theta_c);
yc = R*sin(theta_c);
plot(xc, yc, '--k', 'LineWidth',1.5)

h1 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','red','MarkerEdgeColor','k'); % Núcleo
h2 = plot(NaN,NaN,'s','MarkerFaceColor','blue','MarkerEdgeColor','k'); % Exterior

legend([h1 h2], ...
       {['Núcleo (\rho ≤ R): \omega = ', num2str(Gamma/(pi*R^2),'%.1f'), ' 1/s'], ...
        'Región exterior (\rho > R): \omega = 0 1/s'}, ...
       'Location','northeast', ...
       'Box','on', 'FontSize', 11);

7 barca pequeña flotando en el vórtice.

Entonces, [math]\vec{\omega}[/math] representa la “cantidad de rotación local” del fluido en cada punto:

• Si [math]\omega \gt 0[/math] → el fluido gira en sentido antihorario.
• Si [math]\omega = 0[/math] → no hay rotación local (el fluido se mueve pero sin girar).

En el vórtice de Rankine:

• Dentro del núcleo ([math]\rho \le R[/math]) → [math]\omega = \text{cte}[/math] → rotación sólida (todo gira igual).
• Fuera del núcleo ([math]\rho \gt R[/math]) → [math]\omega = 0[/math] → el fluido se mueve alrededor pero no “gira sobre sí mismo”.

8 Campo de presión.