Diferencia entre revisiones de «La Espiral de Ekman (Grupo 42)»

Revisión del 13:01 4 dic 2025

1 Introducción

Este artículo tiene como objetivo el estudio de la espiral de Ekman, la cual describe el movimiento del agua en el océano cuando sopla un viento constante sobre la superficie. La fricción entre el viento y el agua crea una corriente superficial, sin embargo, dicha corriente no avanza en la dirección del viento, sino desviada por la fuerza de Coriolis (fuerza aparente debido a la rotación de la Tierra, la cual desvía el movimiento de los objetos hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur).

En el hemisferio norte cada capa de agua se mueve ligeramente hacia la derecha respecto a la capa superior, mientras que su velocidad disminuye en función de la profundidad por la fricción interna. Esto provoca una estructura helicoidal, conocida como la espiral de Ekman.

La suma de todas las capas da lugar al transporte de Ekman, que se dirige 90º respecto al viento. Este proceso es fundamental en la dinámica oceánica y explica fenómenos como los afloramientos costeros.

Las primeras observaciones de este fenómeno fueron las del oceanógrafo noruego Fridtjof Nansen, posteriormente, en 1902, Vagn Walfrid Ekman fue el que explicó el fenómeno mediante un modelo que combinaba rozamiento y fuerza de Coriolis.

La velocidad del fluido en cada capa de profundidad se describe con: [math] \vec{V}= u(z)\vec{i}+v(z)\vec{j} [/math]

donde [math]\vec{i}[/math] apunta al este, [math]\vec{j}[/math] al norte, y 𝑧 es la profundidad (con 𝑧 ≤ 0, siendo 𝑧 = 0 la superficie). Las componentes 𝑢(𝑧) y 𝑣(𝑧) satisfacen las ecuaciones de Ekman:

Donde las soluciones son:

• [math] V_{0} [/math] es la intensidad de la velocidad superficial inducida por el viento;
  
• [math] d_{E}=\sqrt{\frac{2 \cdot V_{e}}{|f|}} [/math] es la profundidad de Ekman, la distancia vertical en la que la influencia del viento y la fuerza de Coriolis afectan significativamente el movimiento del agua
  
• [math] \vartheta [/math] es una fase inicial determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis;
  
• sgn es la función signo:
  

2 Parámetro de Coriolis

El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. Se define como: [math] f=2\Omega sen(\phi ) [/math], donde [math] \Omega [/math] es la velocidad angular de la Tierra y [math] \phi [/math] la latitud. Aproximadamente, la velocidad angular de la tierra es [math] \Omega =7.2921\cdot 10^{-5} rad/s [/math].
Para una latitud de 30°10′24.2″N, es decir, de [math] \phi =30.1734° [/math], se determina sustituyendo en la ecuación anterior que el parámetro de Coriolis es de:

La profundidad de Ekman [math]{d_E}[/math] se define como la escala de profundidad a la que penetra la influencia del viento. Se calcula con la fórmula:

En nuestro caso para la localidad dada, y viscosidad turbulenta: [math]𝜈_{𝑒} = 0.05 m^{2}/s[/math], sería:

Dependiendo de la latitud, el valor del parámetro de Coriolis puede ser negativo o positivo. Sustituyendo en la fórmula dada, se demuestra que:

• Para el hemisferio norte [math] (0^{\circ}\lt \phi \lt 90^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f\gt0 [/math]
• Para el Ecuador [math] (\phi = 0^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f=0 [/math]
• Para el hemisferio sur [math] (-90^{\circ}\lt \phi \lt 0^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f\lt0 [/math]

Esto implica que:

• En el hemisferio Norte (f>0) el flujo se desvía a la derecha de la dirección del viento y la espiral gira con profundidad en sentido horario.
• En el emisferio Sur (f<0) el flujo se desvía a la izquierda de la dirección de viento y la espiral gira en sentido antihorario.
• En el ecuador el efecto de Coriolis desaparace, el modelo clásico de la espiral de Ekman deja de tener sentido.

3 Valor de la fase inicial, ϑ

ϑ es la fase inicial (ángulo de desviación superficial), determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

En el apartado anterior se ha obtenido que [math] f=7.3303\cdot 10^{-5} \frac{1}{s} [/math]. Para obtener la fase inicial, utilizamos las dos siguientes ecuaciones:

• [math]u(z)=sgn(f)V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math]
  
• [math]v(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) [/math]
  

Al ser [math] f\gt0 [/math], concluimos que [math] sgn(f)=1 [/math], y por lo tanto [math]u(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math].
Para [math] z=0 [/math]:

• [math]u(0)=V_{o}cos\left ( \vartheta \right )[/math]
  
• [math]v(0)=V_{o}sin\left ( \vartheta \right ) [/math]
  

El ángulo incial de las ecuaciones del flujo de Ekman depende tan solo, de las condiciones físicas inciales.

El ángulo de la corriente debido a la rotación terrestre está desviado en superficie aproximadamente [math] 45^{\circ} [/math]a la derecha del viento en el hemisferio norte, es decir, [math] \pi /4 [/math] rad.
Por lo tanto, se obtiene que la fase inicial es [math] \vartheta= -\frac{3\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}[/math]

4 Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman

Las ecuaciones diferenciales de Ekman vienen definidas de la siguiente manera:

Cuyas soluciones se muestran:

Por lo tanto, para verificar la igualdad, tan solo hay que derivar dos veces respecto de z las soluciones propuestas:

• [math] \frac{du}{dz}=V_{o}\left ( \left ( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) -\left( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}} sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ) \right )=\frac{V_{o}}{d_{E}}e^{z/d_{E}}\left(cos\left( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right) \right)[/math]
  

• [math] \frac{dv}{dz}=V_{o}\left ( \left ( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) +\left( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}} cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ) \right )=\frac{V_{o}}{d_{E}}e^{z/d_{E}}\left(sin\left( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)+cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right) \right) [/math]
  

Se verifican, entonces, las ecuaciones diferenciales de Ekman y sus soluciones.

5 Animación del campo vectorial [math]\vec{V}[/math]

La representación del campo vectorial en Matlab de la Espiral de Eckeman sería:

Archivo:Figura campo vectorial.gif

%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5;  % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30+10/60+24.2/3600;  % Latitud en grados
V0 = 0.15;  % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05;  % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 5*pi/4;  % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta;  % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 70;  % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames);  % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7));  % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta)  .* cos(-z_vals / delta+theta0);  % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta)  .* sin(-z_vals / delta+theta0);  % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
 hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
    z = z_vals(k);  % Profundidad actual
    u = u_m(k);  % Componente u(z)
    v = v_m(k);  % Componente v(z)

    % Calcular los campos vectoriales para este valor de z
    quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

    title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

    xlim([-1.2 1.2]);
    ylim([-1.2 1.2]);
    zlim([-z_max 0])
    % Pausa para actualizar la animación
    pause(0.1);
    %Reinicio grafica
    cla
    plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
    xlabel('Oeste - Este (m)');
    ylabel('Norte - Sur (m)');
    zlabel('Profundidad (m)');
    grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
 hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
    z = z_vals(k);  % Profundidad actual
    u = u_m(k);  % Componente u(z)
    v = v_m(k);  % Componente v(z)

    % Calcular los campos vectoriales para este valor de z
    quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

    title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

    xlim([-1.2 1.2]);
    ylim([-1.2 1.2]);
    zlim([-z_max 0])
    % Pausa para actualizar la animación
    pause(0.1);
    %Reinicio grafica
    cla
    plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
    xlabel('Oeste - Este (m)');
    ylabel('Norte - Sur (m)');
    grid on
    view([0 90])
end
hold off

6 Representación del campo vectorial [math]\vec{V}[/math]

Este apartado, analiza la representación de un campo vectorial v evaluado en puntos de coordenadas cartesianas (0,0,𝑧) (a lo largo del eje vertical z), desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman. La finalidad es visualizar la formación de la espiral de Ekman, que describe el patrón de circulación de las corrientes oceánicas debido a la acción del viento. A medida que se desciende en la columna de agua, el campo de velocidad cambia de dirección y magnitud, creando un perfil espiral en el cual los vectores de velocidad se representan en distintas capas de agua a lo largo del eje 𝑧. En este contexto, cada vector mostrado representa la dirección y la intensidad del flujo en una capa particular, permitiendo observar la transición desde las corrientes superficiales hasta las más profundas que componen la espiral de Ekman.

El código de MATLAB, para esta representación, sería el siguiente:

%% Apartado 6
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5;  % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30+10/60+24.2/3600;  % Latitud en grados
V0 = 0.15;  % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05;  % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = -3*pi/4;  % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

% Parámetros de la simulación
z_max = 3 * delta;  % Profundidad máxima para la animación (3 veces la profundidad de Ekman)
n_frames = 70;  % Número de valores de profundidad
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames);  % Valores de profundidad
figure(1);
hold on;
view(3)
xlim([-0.3, 0.3]);
ylim([-0.3, 0.3]);
zlim([-z_max 0]);
xlabel('Este - Oeste (m)');
ylabel('Norte - Sur (m)');
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta)  .* cos(-z_vals / delta+theta0);  % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta)  .* sin(-z_vals / delta+theta0);  % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
    z = z_vals(k);  % Profundidad actual
    % Calcular las componentes de la velocidad
    u = u_m(k); % Componente u(z)
    v = v_m(k);% Componente v(z)
    quiver3(u, v,-z, u, v,0, 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 0.5, 'Color', "b",'HandleVisibility', 'off');
    title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman'))
    grid on
    view([45 45])
end

7 Divergencia del campo velocidad [math] \nabla\cdot \vec{V}(x,y,z) [/math]

Calculando, se determina que la divergencia de \( \vec{V}\) es:

En la espiral de Ekman, el agua solo se mueve horizontalmente, y su velocidad cambia con la profundidad porque la fricción y la fuerza de Coriolis compiten entre sí. La divergencia, nos dice si el agua se está acumulando, se esta expandiendo o si se mantiene igual en un punto.

Que la divergencia sea cero significa que el agua no se comprime ni se expande en ningún nivel de profundidad. Aunque la dirección de la corriente cambia y gira con la profundidad por la acción combinada de la fricción y la fuerza de Coriolis, la cantidad de agua que entra en cada punto es exactamente la misma que la que sale. Por tanto, el flujo es incompresible y no aparece movimiento vertical asociado: el agua simplemente se desvía horizontalmente sin acumularse ni vaciarse.

8 Cálculo del rotacional de [math]\vec{V}[/math]

El rotacional de la espiral de Ekman, describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área, es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas. En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y.

[math]\vec{V} = u(z) \vec{ i } + v(z) \vec { j }[/math],

El transporte neto de masa en la capa de Ekman, se orienta perpendicularmente al viento en la superficie, debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional del campo de velocidad en la espiral de Ekman es:

Como es un flujo horizontal y homogéneo en las direcciones horizontales. Esto significa que:

1. La variación del componente [math] v [/math] con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente [math] u [/math] con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

Rotacional visto en perspectiva

Rotacional visto desde arriba

omega = 7.2921e-5;      
% Latitud: 30° 10' 24.2" N
phi = 30 + 10/60 + 24.2/3600; 
V0 = 0.15;              % Velocidad superficial inducida (m/s)
nu = 0.05;              % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 5*pi/4;        % Fase inicial (vartheta) en radianes
% ---------------------------------------------------

% Calcular el parámetro de Coriolis f (positivo en HN)
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman 'delta' (dE en el texto)
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));
fprintf('Profundidad de Ekman (dE): %.2f m\n', delta);

% Parámetros de la animación
z_max = 1.5 * delta; % Profundidad máxima (1.5*dE es suficiente)
n_frames = 100;      
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames); % Valores de profundidad (z >= 0)

[X, Y] = meshgrid(linspace(-0.1, 0.1, 15), linspace(-0.1, 0.1, 15)); 


max_omega = V0/delta; 

%% Figura 1: Vista 3D (Animación de planos de vectores)
figure(1);
view(3)


title(sprintf('Vorticidad de Ekman Animada (Plano de Vectores)

9 Transporte de Ekman

La elección de una profundidad de [math] z=-\infty [/math] se debe a que el valor de la profundidad del fondo marino es un número lo suficientemente grande como para poder simplificarlo diciendo que es igual a [math] -\infty [/math], debiéndose el signo negativo a que el sistema de referencia elegido para este problema tiene como coordenada vertical 0 la superficie del mar. Además, las integrales de:

Son integrales de una exponencial de la profundidad, es decir, la profundidad decrece exponencialmente, así que se desprecia o se considera cero la integral entre la profundidad del mar y menos infinito considerándose directamente los límites de la integral [math] z=-\infty [/math] y [math] z=0 [/math].

Suponiendo el perfil de velocidad de la espiral de Ekman:

[math] \vec{w}(z) = V_0 e^{(1+i)z/d_E} [/math]

se integra:

[math] \vec{M}_E = \int_0^{-\infty} V_0 e^{(1+i)z/d_E} dz = V_0 \int_0^{-\infty} e^{k z} dz, \quad k = \frac{1+i}{d_E} [/math]

[math] \vec{M}_E = V_0 \left[ \frac{e^{k z}}{k} \right]_0^{-\infty} = -\frac{V_0}{k} = -\frac{V_0 d_E}{1+i} [/math]

Multiplicando numerador y denominador por el conjugado [math]1-i[/math]:

[math] \vec{M}_E = -V_0 d_E \frac{1-i}{2} = -\frac{V_0 d_E}{2} (1-i) [/math]

[math] \Rightarrow M_{E,x} = -\frac{V_0 d_E}{2}, \quad M_{E,y} = \frac{V_0 d_E}{2} [/math] [math] M_{E,x} = -\frac{V_0 d_E}{2}, \quad M_{E,y} = \frac{V_0 d_E}{2} [/math]

[math] |\vec{M}_E| = \frac{V_0 d_E}{\sqrt{2}}, \quad \theta = \arctan \frac{M_{E,y}}{M_{E,x}} = \arctan(-1) = -45^\circ [/math]

Esto confirma que el transporte neto de Ekman es perpendicular al viento (si el viento sopla a lo largo del eje x positivo).

10 Cálculo del flujo a través de una pared perpendicular

Se tiene como objeto de análisis una pared de agua perpendicular a un vector normal [math] \vec{n}=cos\alpha \vec{i}+sen\alpha \vec{j} [/math], siendo [math] \alpha \in \left ( 0,2\pi \right ) [/math]. La pared se extiende desde la superficie del mar ([math] z=0 [/math]) hasta una profundidad [math] z=-\infty [/math]. Además, se sabe que tiene un grosor L=10 m.

El objetivo será calcular analíticamente el flujo neto del campo de velocidad [math] \overrightarrow{v} [/math] a través de esta superficie y demostrar que dicho flujo se dirige hacia el oeste (en el hemisferio norte), perpendicular al viento. Con esto se tendría una confirmación teórica del transporte de Ekman, que es el movimiento neto del agua superficial, causado por el viento y desviado por la rotación terrestre resultando perpendicular a la dirección del viento. Utilizamos para ello la fórmula del flujo sabiendo el campo vectorial y un vector perpendicular a la superficie, que se indica como: [math]\Phi = \int_{-\infty}^0 \int_0^{L=10} ({v}\cdot n) \, dx \, dz,[/math]

Donde: [math] {v} = u(z) \overrightarrow{i} + \overrightarrow v(z) j [/math] [math] {n} = \cos\alpha \overrightarrow{i} + \sin\alpha \overrightarrow{j} . [/math]

El producto escalar sería: [math] \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}= u(z) \cos\alpha + v(z) \sin\alpha. [/math]

[math] \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}= V_0 e^{z/d_E} \left[ \cos\alpha \cos\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta\right) + \sin\alpha \sin\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta\right) \right].[/math]

Usando una identidad trigonométrica para simplificar: [math] \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \implies \quad \implies \quad \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}= V_0 e^{z/d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + \vartheta - \alpha \right). [/math] Ahora la integral a resolver para hallar el flujo sería: [math] \Phi = \int_{0}^{L=10} \int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz dx [/math]

Se resuelve la parte [math] dx [/math]: [math] \Phi = 10\int_{-\infty}^0 V_0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Para resolver lo que queda de integral se utilizará la integración por partes:

[math] \int u \, dv = uv - \int v \, du [/math]

[math] u = \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right), \quad \implies \quad du = -\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

[math]dv = e^{\frac{z}{d_E}} dz \implies \quad v = d_E e^{\frac{z}{d_E}} [/math]

Se aplica la integración por partes: [math] \Phi = 10 V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \left(-\frac{1}{d_E} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ -\alpha\right)\right) dz \right] [/math]

Simplificando: [math]\implies \quad \Phi = 10 V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz \right] [/math]

Ahora queda otra integral, [math] I_2 = \int e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Utilizando integración por partes nuevamente: [math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int d_E e^{\frac{z}{d_E}} \frac{1}{d_E} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz[/math]

[math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - \int e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Se puede observar que la última integral es el término original. Sólo queda resolver el sistema:

[math] I_2 = d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \implies \quad [/math] Esta la sustituimos en [math]\implies \quad \Phi [/math]

[math] \Phi = 10 V_0 \left[ d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) - I \right] [/math]

Como [math] \Phi=I = \int_{-\infty}^0 e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) dz [/math]

Entonces [math] 2I =V_{0} d_E e^{\frac{z}{d_E}} \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) + d_E e^{\frac{z}{d_E}} \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right)[/math]

Sólo queda evaluar la integral entre [math] z=-\infty [/math] y [math] z=0 [/math] Al evaluar,para [math] z =0 \implies \quad e^{\frac{z}{d_E}} = 1, \quad \cos\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \cos(ϑ - \alpha), \quad \sin\left(\frac{z}{d_E} + ϑ - \alpha\right) = \sin(ϑ - \alpha) [/math]

Y para [math] z =-\infty [/math] todos los [math] e^{\frac{z}{d_E}} \to 0 [/math] se anulan. Entonces el flujo quedaría:

[math] \Phi = 10 V_0 d_E \left[ \cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha) - \frac{1}{2} \left(\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right) \right] [/math]

[math] \Phi = \frac{10 V_0 d_E}{2} \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right] [/math]

[math] \Phi = 5 V_0 d_E \left[\cos(ϑ - \alpha) + \sin(ϑ - \alpha)\right] [/math]

Maximizando se tiene:

[math] \Phi_{\max} = 5 \sqrt{2} \, V_0 \, d_E [/math]

Cuando el flujo es máximo, se debe a que este va en dirección al oeste o al este. Por lo tanto, el ángulo fijo [math] \alpha [/math] en el vector normal [math] \vec{n}=cos\alpha \vec{i}+sen\alpha \vec{j} [/math] debería ser [math] \pi[/math] o [math] 0[/math], si se quiere que vaya en dirección oeste, el ángulo fijo será [math] \pi[/math]. El flujo de Ekman se dirige hacia el oeste debido a la interacción del viento la fuerza de Coriolis, perpendicular al viento, confirmando teóricamente el transporte de Ekman.

11 Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas

La parametrización de la curva en coordenadas cartesianas es [math]\gamma ( t ) = ( u ( z ) , v ( z ) , z )[/math]

Primero pasaremos esta parametrizacion de cartesianas a cilindricas, para ello tenemos que:

• [math] \rho= \sqrt { u ( z ) ^ { 2 } + v ( z ) ^ { 2 } }[/math];

• [math]\theta= a r c t g ( \frac { v ( z ) } { u( z ) } )[/math]

• [math]\ z = z[/math]

ahora sustituimos, [math] u ( z ) = s g n ( f ) \cdot v _ { 0 } e ^ { z / d _ { E } } . \cos ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math] y [math]v ( z ) = v _ { 0 } e ^ { \frac { z } {d _ { E }} } s e n ( \frac { z } { d _ { E } } + ϑ )[/math] , de tal manera que

• [math] \rho = \sqrt { ( v_{0} e ^ {z / d_{E} }) ^ { 2 } [ c o s ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) + s e n ^ { 2 } ( \frac { z } { d _{E}} + ϑ ) ] } = v_{0} e ^ {z / d_{E} } [/math]

• [math]\ \theta = a r c t g ( \frac { s e n ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } { \cos ( \frac { z } { d _{E} } + ϑ ) } ) = \frac { z } { d _{E} } + ϑ=arctg\left ( \frac{v_{0}e^{z/d_{E}}sen\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )}{v_{0}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )} \right )=arctg\left ( tg\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right )=\frac{z}{d_{E}}+\vartheta[/math]

asi pues la parametrización en cilindricas queda como: [math] \gamma( z ) = \left ( \rho ,\theta ,z \right )= ( V _ { 0 } e ^ { z / d _{E} } , \frac { z } { d_{E} } + v , z ) ,[/math] para todos los valores de [math]z \leq 0[/math]

El código de MATLAB sería el siguiente:

%% Parámetros
V0 = 0.15;              % Velocidad superficial inducida (m/s)
visc = 0.05;            % Viscosidad turbulenta (m2/s)
phi = deg2rad(30+10/60+24.2/3600);
omega = 7.2921e-5;
f = 2*omega*sin(phi);
dE = sqrt(2*visc/abs(f));   % Profundidad de Ekman
theta = -3*pi/4;            % Fase inicial

%% Dominio en profundidad
z = linspace(0, -4*dE, 400);

%% Coordenadas cilíndricas
r = V0 .* exp(z/dE);
ang = z/dE + theta;

%% Conversión a coordenadas cartesianas
x = r .* cos(ang);
y = r .* sin(ang);

%% Gráfica 3D
figure
plot3(x, y, z, 'LineWidth', 2)
grid on
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
zlabel('z (m)')
title('Espiral de Ekman en coordenadas cilíndricas')
view(45,30)

12 Curvatura y Torsión

La curvatura y la torsión son conceptos muy útiles para entender el comportamiento de la espiral de Ekman. La curvatura mide cuanto cambia la dirección de la trayectoria en cada punto, mientras que la torsión mide cuanto cambia el plano de curvatura a lo largo que nos movemos sobre esta, refleja la tridimensionalidad de la espiral.

Matemáticamente la curvatura [math] \kappa (z)[/math] y la torsión [math] \tau (z)[/math] se definen como:

• [math] \kappa (z)=\frac{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|}{\left|\vec{v}(z) \right|^{3}} [/math]
  
• [math] \tau (z)=\frac{\left [ \vec{v}(z),\vec{a}(z),{\vec{a}}'(z) \right ]}{\left|\vec{v}(z)\times \vec{a}(z) \right|^{2}} [/math]
  

Para la curvatura, necesitamos la velocidad, que es la primera derivada del vector posición, [math] \vec{p}= u\vec{i}+v\vec{j}+z\vec{k} [/math]:

Y también necesitamos la aceleración, que es la segunda derivada del mismo vector posición:

Para la torsión, además, necesitaremos la derivada de la aceleración, que será:

La curvatura disminuye en función de la profundidad, como se pueden ver en las gráficas. Físicamente esto significa que la espiral se vuelve cada vez más "recta" (menos curvada) al penetrar en la columna de agua: las componentes horizontales decrecen exponencialmente y la variación angular por unidad de profundidad también disminuye, reduciendo la curvatura de la trayectoria velocidad-profundidad.

A continuación viene la representación en MATLAB:

% Parámetros
V0 = 0.15;
visc = 0.05;
phi = deg2rad(30 + 10/60 + 24.2/3600);
omega = 7.2921e-5;
f = 2*omega*sin(phi);

dE = sqrt(2*visc/abs(f));
theta = -3*pi/4;

% Profundidad
z = linspace(0, -3*dE, 200);

% Solución de Ekman
alpha = z./dE;

u = V0.*exp(alpha).*cos(alpha + theta);
v = V0.*exp(alpha).*sin(alpha + theta);

% Derivadas exactas
u1 = (V0/dE).*exp(alpha).*(cos(alpha+theta) - sin(alpha+theta));
v1 = (V0/dE).*exp(alpha).*(sin(alpha+theta) + cos(alpha+theta));

u2 = (V0/dE^2).*exp(alpha).*(-2*sin(alpha+theta));
v2 = (V0/dE^2).*exp(alpha).*( 2*cos(alpha+theta));

u3 = (V0/dE^3).*exp(alpha).*(-3*cos(alpha+theta) + sin(alpha+theta));
v3 = (V0/dE^3).*exp(alpha).*(-3*sin(alpha+theta) - cos(alpha+theta));

% Vectores r', r'', r'''
r1 = [u1; v1; ones(size(z))]';
r2 = [u2; v2; zeros(size(z))]';
r3 = [u3; v3; zeros(size(z))]';

% Curvatura
cross12 = cross(r1, r2);
curv = vecnorm(cross12,2,2) ./ vecnorm(r1,2,2).^3;

% Torsión
cross23 = cross(r2, r3);
tor = dot(r1, cross23, 2) ./ vecnorm(cross12,2,2).^2;

% Gráficas
figure
subplot(2,1,1)
plot(z, curv); grid on
title("Curvatura K(z)")

subplot(2,1,2)
plot(z, tor); grid on
title("Torsión τ(z)")

13 Triedro de Frenet

14 Longuitud de arco de la Espiral de Ekman

Para calcular numéricamente la longitud de arco ([math] L [/math]) de la Espiral de Ekman desde la superficie ([math] z=0 [/math]) hasta una profundidad ([math] z=-Z [/math]) debemos usar la fórmula general de la longitud de arco de una curva paramétrica en el espacio:

[math] L = \int_{0}^{-Z} \sqrt{\left(\frac{dx}{dz}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dz}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dz}\right)^2} \, dz [/math]

En las coordenadas cartesianas, la espiral se define por [math] r(z) = (u(z), v(z), z) [/math] donde [math] u [/math] y [math] v [/math] son las componentes de velocidad.

[math] x = u(z), y = v(z) [/math] donde [math] z [/math] es el parámetro

La longitud de arco de la espiral de velocidad es:

[math] L = \int_{0}^{-Z} \sqrt{\left(\frac{du}{dz}\right)^2 + \left(\frac{dv}{dz}\right)^2 + 1} \, dz [/math]

Usamos las expresiones simplificadas de las derivadas de velocidad: ([math]\omega_y = \frac{du}{dz} [/math] y [math] \omega_x = - \frac{dv}{dz} [/math]) que se obtienen de la solución analítica de Ekman:

[math] \frac{du}{dz} = \frac{1}{\delta} (u(z) - v(z)) [/math]

[math] \frac{dv}{dz} = - \frac{1}{\delta} (u(z) + v(z)) [/math]

Donde [math] \delta = d_E [/math]. La longitud de arco queda:

[math] L = \int_{0}^{-Z} \sqrt{\frac{1}{\delta^2} \left[(u-v)^2 + (u+v)^2\right] + 1} \, dz [/math]

Desarrollando el término en el corchete:

[math] (u-v)^2 + (u+v)^2 = (u^2 - 2uv + v^2) + (u^2 + 2uv + v^2) = 2(u^2 + v^2) [/math]

[math] u^2(z) + v^2(z) = \left(\text{sgn}(f)V_0 e^{z/\delta} \cos\left(\frac{z}{\delta} + \vartheta\right)\right)^2 + \left(V_0 e^{z/\delta} \sin\left(\frac{z}{\delta} + \vartheta\right)\right)^2 = V_0^2 e^{2z/\delta} [/math]

Sustituyendo en la integral:

[math]L = \int_{0}^{-Z} \sqrt{\frac{2}{\delta^2} \left(V_0^2 e^{2z/\delta}\right) + 1} \, dz [/math]

Simplificaremos usando el factor [math] \frac{\sqrt{2} V_0}{\delta} [/math] como la magnitud de la derivada de la velocidad en la superficie [math] (z=0) [/math].

[math] L = \int_{0}^{-Z} \sqrt{1 + \frac{2V_0^2}{\delta^2} e^{2z/\delta}} \, dz [/math]

Utilizando los valores del problema, la integral queda:

[math] L = \int_{0}^{-Z} \sqrt{1 + \frac{2V_0^2}{\delta^2} e^{2z/\delta}} \, dz [/math]

El código en Matlab sería el siguiente:

% Parámetros dados:
V0 = 0.15;             % Velocidad superficial (m/s)
delta = 36.92;         % Profundidad de Ekman (dE) (m)

% La función a integrar (integrando)
% f(z) = sqrt( 1 + (2 * V0^2 / delta^2) * exp(2*z/delta) )
integrando = @(z) sqrt(1 + (2 * V0^2 / delta^2) * exp(2*z/delta));

% Puntos de integración (límites superiores de la integral)
Z_vals = [1 * delta, 2 * delta, 3 * delta];

% Inicializar resultados
L_vals = zeros(size(Z_vals));

fprintf('--- Cálculo de la Longitud de Arco (L) de la Espiral de Ekman ---\n');

% Bucle de cálculo
for i = 1:length(Z_vals)
    Z = Z_vals(i);
    
    % La integral va desde z=0 hasta z=-Z
    L = integral(integrando, -Z, 0); 
    L_vals(i) = L;

    % Calcular la longitud en términos de dE
    Z_norm = Z / delta;
    
    fprintf('Para Z = %.0f * dE (%.2f m):\n', Z_norm, Z);
    fprintf('  L = %.4f metros\n', L);
end