Diferencia entre revisiones de «La Presa de El Atazar (GRUPO 14)»

Revisión del 22:12 3 dic 2025

1 Introducción

La Presa de El Atazar, situada en el río Lozoya y construida entre 1968 y 1972, es la mayor infraestructura hidráulica de la Comunidad de Madrid y una de las más relevantes de España. Su diseño de doble curvatura —arco en planta y paramento parabólico en alzado— la convierte en un ejemplo destacado para el estudio matemático de la estabilidad estructural de las presas de curvatura y de la interacción entre el agua embalsada y la superficie resistente de la presa.

El objetivo principal de este trabajo es analizar, mediante herramientas de cálculo, geometría diferencial y visualización en MATLAB, distintos fenómenos físicos asociados al funcionamiento de una presa de estas características. Para ello se parte de un modelo geométrico paramétrico del paramento aguas arriba y del campo de presión hidrostática generado por el agua embalsada.

2 Representación geométrica de la presa

2.1 -Modelo paramétrico en coordenadas cilíndricas

A continuación, para realizar el siguiente análisis se considerará la superficie de la presa en su cara aguas arriba, es decir, la zona en contacto directo con el agua del embalse. La presa tiene doble curvatura: es un arco circular en la vista horizontal y un arco parabólico en la sección vertical.La presa cuenta con una doble curvatura, la cual según la sección puede ser:

Para describir la superficie aguas arriba de la presa se emplean coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\), tomando como origen el fondo del valle y considerando el eje vertical \(z\). Los parámetros recorren los intervalos:

donde $H = 134\,\text{m}$ es la altura total de la presa. En este sistema, la geometría del paramento se modela mediante la expresión:

donde $\rho_0 = 150\,\text{m}$ es el radio en la coronación y $b = 40\,\text{m}$ controla la curvatura parabólica de la presa.

donde:

• [math]H = 134 \text{ m}[/math]: altura de la presa;
• [math]\rho_0 = 150 \text{ m}[/math]: radio en la coronación (altura máxima);
• [math]b = 40 \text{ m}[/math]: parámetro de curvatura parabólica.

2.2 -Superficie parametrizada en MATLAB

Figura 1. Representación de la presa parametrizada

H = 134;         
rho0 = 150;       
b = 40;           
theta_min = 2*pi/3;
theta_max = 4*pi/3;
Ntheta = 200;
Nz = 200;
theta = linspace(theta_min, theta_max, Ntheta);
z = linspace(0, H, Nz);
[Theta, Z] = meshgrid(theta, z);
Rho = rho0 + b*(1 - (Z.^2)/(H^2));
X = Rho .* cos(Theta);
Y = Rho .* sin(Theta);
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor','none','FaceColor',[0.2 0.4 1] );
xlabel('Ancho(m)');
ylabel('Largo(m)');
zlabel('Altura(m)');
title('Superficie aguas arriba de la presa de El Atazar');
axis equal;
view(45, 30);

3 Campo de presión hidrostática

Cuando el embalse está lleno hasta la altura \(H_{\text{agua}}\) (medida desde la base de la presa), el campo de presión sobre el paramento aguas arriba es:

[math] P(z) = P_0 + \rho_{\text{agua}}\, g \, (H_{\text{agua}} - z), \qquad z \in [0, H_{\text{agua}}] [/math]

donde \(P_0\) es la presión atmosférica estándar, \(\rho_{\text{agua}}\) es la densidad del agua, y \(g\) es la aceleración de gravedad. Asumimos \(H_{\text{agua}} = 125 \text{ m}\).

El campo vectorial de fuerza de presión sobre la presa es:

[math] \vec{F} = -\, P(z)\, \vec{n} [/math]

donde \(\vec{n}\) es el vector normal a la superficie (apuntando hacia el agua).

Figura 2. Campo escalar de presión

% Parámetros geométricos de la presa
H = 134; 
rho0= 150;  
b = 40; 
theta = linspace(2*013, 4*pi/3, 300); 
z = linspace(0, H, 300);  
[TH, Z] = meshgrid(theta, z); 

% Radio parabólico en función de z 
R = rho0 + b*(1 - (Z.A2)/(H^2)); 

% Conversión a coordenadas cartesianas 
X = R .* cos(TH); 
Y = R .* sin(TH); 
Zs = Z;

% Campo de presión hidrostática 
P0 = 101325; 25 
rho_agua = 1000;  
g = 9.81;
Hagua = 125;

P = P0 + rho_agua * g .* (Hagua - Zs); 

% Representación de la presión sobre la presa
figure 
surf(X, Y, Zs, P)
shading interp 
colormap jet 
colorbar 
title('Campo escalar de presión P(z) sobre la presa del Atazar') 
xlabel('x (m)') 
ylabel('y (m)') 
zlabel('z (m)') 
axis equal 
view(45, 20)

4 Modelización y análisis de procesos en el embalse

4.1 -Sedimentación en el embalse

Los ríos transportan sedimentos que se depositan en el fondo del embalse, reduciendo gradualmente su capacidad. Modelamos la concentración de sedimentos depositados en el fondo del embalse (en kg/m²) como:

donde:

• [math]S_0 = 50 \text{ kg/m}^2[/math] es la sedimentación base;
• [math]\alpha = 3[/math] modela la mayor acumulación cerca de la entrada del río;
• [math]L = 500 \text{ m}[/math] es una escala característica.

Para simplificar, consideramos el fondo del embalse como aproximadamente plano en [math]z = 0[/math] y con forma de sector circular centrado en el valle, delimitado por el arco de la presa en su base.

4.1.1 Representación del mapa de sedimentos en MATLAB

Figura 3. Representación de la presa parametrizada

%opcional 1 apartado 1.5
%Parámetros
S0 = 50;
alpha = 3;
L = 500;

%Dominio del fondo del embalse
x = linspace(-1500,1500,300);
y = linspace(-1500,1500,300);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

%Campo escalar S(x,y)
R2 = X.^2 + Y.^2;
S = S0*(1+ alpha*exp(-R2/L^2));

%Figura: mapa de colores
figure('Units', 'normalized', 'Position', [0.1 0.1 0.65 0.65])
p = pcolor(X, Y, S);
set (p, EdgeColor', 'none');
colorbar;
axis equal;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title("Campo escalar S(x,y) (sedimentacion en el fondo)') ;

4.1.2 Cálculo y representación del gradiente de sedimentación

Figura 4. Representación de la presa parametrizada

%Opcional 1 apartado 1.6

% Parámetros
SO = 50;
alpha = 3;
L = 500;

%Dominio
x = linspace(-1000,1000,201);
y = linspace(-1000,1000,201);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

% Radio y campo S
R2 = X."2 + Y."2;
S = S0*(1 + alpha*exp(-R2 / L"2));

% Gradiente
coef = -2 * SO * alpha / (LA2);
Sx = coef * X .* exp(-R2 / L"2);
Sy = coef * Y .* exp(-R2 / L-2);

% Magnitud del gradiente
mag = sqrt(Sx."2 + 5y.^2);

% Figura
figure('Units','normalized','Position',[0 1 0.1 0.6 0.6])
p = pcolor(X, Y, mag);
set(p,'EdgeColor','none')
colorbar

hold on
axis equal
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del gradiente y campo vectorial de sedimentacion')
step = 8;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
            Y(1:step:end,1:step:end), ...
	    Sx(1:step:end,1:step:end), ...
	    Sy(1:step:end,1:step:end), ...
	    'k')
plot(0,0,'r.','MarkerSize',18)
rmax = Lisqrt(2);
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(rmax*cos(theta), rmax*sin(theta),'w--','LineWidth',1,5)
legend({'Magnitud del gradiente',' Campo vectorial','Origen','Radio r=L/sort(2)'},
	      'Location','northeastoutside')
hold off

4.1.3 Representación de curvas de isoconcentración y análisis geométrico

Figura 5. Representación de la presa parametrizada

%opcional 1 apartado 1.8

%Parámetros
S0 = 50; 
alpha = 3; 
L = 500;

%Dominio (fondo del embalse)
x = linspace(-1500,1500,300); 
y = linspace(-1500,1500,300);
[X,Y] = meshgrid(x,y);

%Campo S(x,y) 
S = S0*(1+ alpha*exp(-(X.^2 + Y.^2)/L^2));

%Curvas de nivel
figure
contour (X, Y, 5, 15, 'LineWidth",1.2);
colorbar;
axis equal;
title('Curvas de isoconcentración de 5(x,y)');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');

4.2 -Flujo de entrada del río Lozoya

El río Lozoya entra al embalse por el extremo norte. Modelamos el campo de velocidad del flujo de entrada como:

Campo 2D simplificado: [math] \vec{v}(x,y) = v_0 \, e^{\frac{-x^2 + y^2}{R^2}} (\cos\phi \, \hat{i} + \sin\phi \, \hat{j}) [/math]

donde:

• [math]v_0 = 0.5 \text{ m/s}[/math] es la velocidad máxima en el centro de entrada,
• [math]R = 30 \text{ m}[/math] es el radio característico,
• [math]\phi = \pi/6[/math] es el ángulo de entrada.

Se considera el dominio: [math](x,y) \in [-100,100]^2 \text{ m}, \quad \sqrt{x^2 + y^2} \le \rho_a[/math], donde [math]\rho_a[/math] es el radio de la presa a la altura [math]z = H_{\text{agua}}[/math].

Extensión 3D con componente vertical: [math] \vec{v}(x,y,z) = v_0 \, e^{\frac{-x^2 + y^2}{R^2}} (\cos\phi \, \hat{i} + \sin\phi \, \hat{j}) + v_1 \, \sin\left(\frac{\pi z}{H_{\text{agua}}}\right) \, e^{\frac{-x^2 + y^2}{R^2}} \, \hat{k} [/math]

donde:

• [math]v_1 = 0.1 \text{ m/s}[/math] es la velocidad máxima de la componente vertical,
• [math]z \in [0, H_{\text{agua}}][/math] es la altura sobre la base de la presa,
• el dominio en (x,y) se mantiene igual: [math](x,y) \in [-100,100]^2 \text{ m}, \quad \sqrt{x^2 + y^2} \le \rho_a[/math].

4.2.1 Modelo del campo de velocidad

4.2.2 Representación vectorial del flujo en plano horizontal y vertical usando quiver

Figura 6. Representación vectorial del flujo

%Parámetros
v0 = 0.5;
v1 = 0.1;
R = 30;
phi = pi/6; 
H = 125;

%Dominio (modifica resolución si quieres más detalle)
xvec = -100:4:100;
yvec = -100:4:100;
[x,y] = meshgrid(xvec, yvec); 

%Plano superficial (z = H)
z_surface = H;

%Función E
E = exp(-(x.^2+y.^2)/R^2);

%Componentes del campo en z = H (superficie)
vx = v0 * cos(phi) .* E; 
vy = v0 * sin(phi) .* E;
vz_surface = v1 * sin(pi*z_surface/H) .* E;

% 3.5
%representacion plano horizontal (z = H)
figure('Name', 'Campo en superficie (z = H)', 'NumberTitle', 'off');
quiver(x, y, vx, vy, 'AutoScale', 'on'); 
axis equal;
xlim([min(xvec) max(xvec)]); ylim([min(yvec) max(yvec)]);
xlabel('x(m)'); ylabel('y (m)');
title(sprintf('Campo de velocidad en superficie (z = %d m)', H));
grid on; 

%representación en plano vertical (y-0)
xz = linspace(-100,100,61);
zz = linspace(0,H,41);
[XZ, 22] meshgrid(xz, zz);
E_vert = exp(-(XZ.^2)/R^2); 

VX_vert = v0 * cos(phi) .*E_vert;
VZ_vert = v1 *  sin(pi*ZZ/H) .*E_vert;

figure( 'Name', 'Campo en plano vertical y=0', 'NumberTitle', 'off');
quiver(XZ, ZZ, VX vert, VZ vert, Autoscale', 'an');
xlabel('x (m)'); ylabel('z (m)');
title('Plano vertical (y = 0): componentes v_x (h) y v_z (v)');
axis tight;
grid on;

4.2.3 Cálculo y representación de la divergencia

Figura 7. Representación de la divergencia

% 3.6: Divergencia en el plano superficial z = H

 coeff x = 2*v0*cos(phi)/R^2;
 coeff y = 2*v0*sin(phi)/R^2;
 coeff_zterm=v1 * (pi/ H);

 divergence = E .* (coeff_x  .* x + coeff_y .* y + coeff_zterm .* cos(pi*z_surface / H) );

 figure('Name', 'Divergencia en superficie', 'NumberTitle', 'off');
 surf(x, y, divergence);
 shading interp; hold on;
 contour3(x,y, divergence, 12, 'k'); hold off;
 xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('div (1/s)');
 title('Divergencia (plano superficial z = H)');
 colorbar;
 view(45,30);
 axis tight;

% Representación en mapa de colores 2D (vista desde arriba)

figure('Name', 'Mapa de colores divergencia (superficie)', 'NumberTitle', 'off');
imagesc(xvec, yvec, divergence);
axis xy; axis equal;
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Mapa de colores: divergencia en superficie (z = H)');
colorbar;

4.2.4 Cálculo y representación del rotacional

Figura 8. Representación del Rotacional

% 3.8: Rotacional en plano superficial z = H

%coef numericos

c1 = 2 * v1 / R^2;
c2 = 2 * v0 / R^2;

curl_x = -c1 .* y .* sin(piz_surface / H) .* Ε;
curl_y = -c1 .* x .* sin(piz_surface / H) .* Ε;
curl_z = -c2 .* E .* (x.*sin(phi) - y.*cos(phi));

% Parte horizontal del rotacional

figure('Name', 'Rotacional (horizontal) en superficie', 'NumberTitle', 'off');
quiver(x, y, curl_x, curl_y, 'AutoScale', 'on');
axis equal;
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Rotacional (componentes horizontales) en superficie');
grid on;

% Componente vertical del rotacional en mapa de colores

figure('Name', 'Componente z del rotacional', 'NumberTitle', 'off');
surf (x, y, curl_z);
shading interp; colorbar;
xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)'); zlabel('(\omega_z)');
title('Componente vertical del rotacional \omega_z en superficie (z=H)');
view(45,30);
axis tight;

4.2.5 Cálculo del caudal de entrada integrando la velocidad

5 Clasificación de las presas - LAS PRESAS ESPAÑOLAS

5.1 - Según su material de construcción

• Presas de hormigón: Sus buenas prestaciones en lo que a durabilidad, resistencia, impermeabilidad y facilidad de construcción se refiere, junto a un precio relativamente bajo las convierten en las más utilizadas. Dentro de las presas de hormigón, este puede ser de tipo convencional o de consistencia seca, que permite ser compactado con rodillos.

• Presas de mampostería: Normalmente son presas más pequeñas, que emplean principalmente una estructura de piedra, arena y cemento. Su construcción suele ser perpendicular a las cárcavas (socavones en el terreno) para así reducir la velocidad del escurrimiento del agua al formar escalones que reducen la erosión.

• Presas de materiales sueltos: Debido a su gran versatilidad y bajo coste son las más empleadas en países en desarrollo. Cuentan con un relleno de tierras sin cementar, normalmente piedras y gravas, que aportan la resistencia necesaria ante el empuje de las aguas. A esto se añaden pantallas impermeables de otros materiales.

Presa de hormigón

Presas de mampostería

Presas de materiales sueltos

5.2 - Según su forma

Tipos de presas

• Presas de gravedad

El mecanismo resistente de este tipo de presas es el rozamiento del cuerpo de presa con el terreno sobre el que se apoya debido a su gran peso. Para evitar posibles deslizamientos son construidas con hormigón en masa prácticamente en su totalidad, armándose únicamente en puntos concretos sometidos a fuertes tracciones, como las galerías. Son presas que trabajan a compresión, por lo que las tracciones se deben controlar cuidadosamente, siendo el pie de aguas arriba uno de los puntos más problemáticos. Al depender de la orografía, se requiere de un suelo que sea muy estable. Su diseño es triangular, ya que es más eficiente en cuanto a resistencia y desde el punto de vista económico. La anchura de la base suele ser alrededor de un 80% de la altura, y pueden ser de eje recto o curvo. Algunos ejemplos en España son las presas de Torrejón, Villalcampo, Saucelle o Castro.

• Presas arco

La curvatura de estas presas resiste el empuje del agua. Es importante que se emplee un material de muy alta resistencia en los laterales de la presa, ya que es allí donde se produce el mayor esfuerzo. Por eso, este tipo de presas está limitado por las condiciones topográficas (cuanto más simétrica mejor) y orográficas del terreno. A su vez, dentro de las presas arco existen dos tipos más: Las presas bóveda o de doble arco. Su forma curva en planta y alzado trasmite el esfuerzo a los laterales y al fondo. Presas arco-gravedad, que combinan elementos de la presa arco y la de gravedad. Es curva pero su peso ayuda a los estribos a resistir los esfuerzos. Grandes presas en España como las de Cedillo o la de Aldeadávila son de arco-gravedad.

• Presas de contrafuertes

Este tipo de presas presenta similitudes con las de gravedad en su mecanismo de resistencia, pero cuenta con una serie de contrafuertes para ofrecer estabilidad frente al deslizamiento y al vuelco. Se emplea así una cantidad menor de material que en las presas de gravedad, pero tienen una mayor complejidad técnica. La presa de José María de Oriol, en el río Tajo, también conocida como “La Catedral”, es de tipo contrafuertes.

5.3 - En España:

Presa de Almendra: es una presa de bóveda o también conocida como doble arco y es la más alta de España llegando a alcanzar una altura de 202 metros.
Presa de Aldeadávila: es una presa de hormigón del tipo arco-gravedad, ubicado en el Parque Natural de Arribes del Duero.
Presa de Ricobayo: es una presa de gravedad construida con hormigón. Su función es retener el agua del río Esla para la generación de energía hidroeléctrica, a través de las centrales que están a pie de presa y de forma subterránea.

6 Bibliografía / Referencias

• https://www.iberdrola.com/conocenos/nuestra-actividad/energia-hidroelectrica/tipos-presa

• https://masqueingenieria.com/blog/tipos-de-presas-y-su-clasificacion/

• https://www.miteco.gob.es/es/agua/temas/seguridad-de-presas-y-embalses/principales-documentos-gestion-seguridad-presas-embalses/clasificacion.html

• https://www.iagua.es/data/infraestructuras/presas/almendra