Revisión del 16:38 3 dic 2025

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

La resolución de problemas de contorno en física e ingeniería, como la difracción o el análisis de la distribución de potencial electrostático requiere el uso de sistemas especializados. Las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) destacan por su ortogonalidad y adaptación a simetrías parabólicas. Este sistema generaliza las coordenadas planas al espacio tridimensional incorporando la altura cartesiana z.

Este marco coordenado transforma las coordenadas cartesianas habituales (x₁, x₂, x₃,) mediante las siguientes ecuaciones, donde la variable u se restringe a valores positivos (u>0):

\begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases}

El objetivo principal de este estudio es analizar las magnitudes fundamentales del sistema (factores de escala) así como obtener las expresiones para los operadores vectoriales (gradiente, divergencia y rotacional) en estas coordenadas. Todo este análisis se detallará en los apartados posteriores.

1 Parametrización y geometría de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas.

1.1 Parametrización teórica

A partir de las expresiones que vinculan las coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) con las coordenadas cartesianas (x₁, x₂, x₃) se deducen las siguientes parametrizaciones para las líneas coordenadas:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): se mantienen constantes v y z, variando u.

\(\gamma_u (t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2} , tv , z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): se mantienen constantes u y z, variando v.

\(\gamma_v(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): se mantienen constantes u y v, variando z.

\(\gamma_z(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math]

1.2 Representación gráfica en MATLAB

Para visualizar la geometría del sistema cilíndrico parabólico, se ha generado mediante MATLAB una representación conjunta de las líneas coordenadas en el plano x₃=0. Cumpliendo con lo solicitado, se han seleccionado valores discretos para los parámetros u y v con el fin de observar la formación de la malla coordenada.

En la gráfica generada se muestran simultáneamente:

• Las líneas coordenadas \(\gamma_u\) (variación de u con v constante), representadas en color azul.
• Las líneas coordenadas \(\gamma_v\) (variación de v con u constante), representadas en color rojo.

Esta visualización conjunta permite apreciar cómo ambas familias se entrecruzan formando una red curvilínea que cubre el plano.

%LIMPIEZA DE ENTORNO
clear; clc; close all;

%DEFINICIÓN DE PARÁMETROS
%Vectores de valores discretos para generar la malla
u_vals = linspace(0.2, 2.5, 6); 
v_vals = linspace(0.2, 2.5, 6); 

%Configuración inicial de la figura
figure;
hold on;
grid on;
axis equal;

%FAMILIA DE CURVAS GAMMA_U (Variación de u)
%Se mantiene v constante (v_fixed) y se barre el parámetro u
for idx = 1:length(v_vals)
    v_fixed = v_vals(idx);
    u = linspace(0, 3, 150);   %Vector continuo para el trazo suave
    %Transformación a coordenadas cartesianas (x1, x2)
    x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; 
    x2_u = u .* v_fixed; 
    %Graficado: Tonalidades frías
    color_val = idx/length(v_vals);
    p1 = plot(x1_u, x2_u, 'Color', [0, 0.6*color_val, 0.8], 'LineWidth', 2); 
end

%FAMILIA DE CURVAS GAMMA_V (Variación de v)
%Se mantiene u constante (u_fixed) y se barre el parámetro v
for idx = 1:length(u_vals)
    u_fixed = u_vals(idx);
    v = linspace(0, 3, 150);    %Vector continuo para el trazo suave
    %Transformación a coordenadas cartesianas (x1, x2)
    x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; 
    x2_v = u_fixed .* v; 
    %Graficado: Tonalidades cálidas
    color_val = idx/length(u_vals);
    p2 = plot(x1_v, x2_v, 'Color', [0.9, 0.4*color_val, 0.1], 'LineWidth', 2); 
end

%ESTÉTICA Y ETIQUETAS
title('Red de Coordenadas Cilíndrico-Parabólicas (Plano x_3=0)');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
xlim([-4 4]); 
ylim([0 6]);

%Leyenda representativa
legend([p1, p2], {'Líneas \gamma_u (v=cte)', 'Líneas \gamma_v (u=cte)'}, ...
       'Location', 'best');

hold off;

1.3 Análisis geométrico

El análisis gráfico confirma que las líneas coordenadas en el plano x₃=0 forman dos familias de parábolas confocales con foco común en el origen. Las curvas asociadas a la variable u son parábolas abiertas hacia la derecha (semieje positivo de x₁), mientras que las asociadas a v se abren hacia la izquierda (semieje negativo). Ambas familias se intersecan perpendicularmente en todo punto, verificando la ortogonalidad del sistema, mientras que la coordenada z genera simplemente rectas verticales.

2 Cálculos teóricos de las coordenadas cilíndrico-parabólicas \( \vec{\gamma}_u , \vec{\gamma}_v , \vec{\gamma}_z \)

2.1 Campos de velocidad de las líneas coordenadas

Los campos de velocidad son los vectores tangentes a las curvas de coordenadas del sistema. Indican cómo cambia la posición de un punto del espacio cuando varía una sola de las coordenadas \((u, v, z)\), manteniendo las demás fijas.

A partir del vector de posición:[math]r'=x_1\vec{i}+x_2\vec{j}+x_3\vec{k} = (\frac{u^2 - v^2}{2})\vec{x_1}+uv\vec{x_2}+z\vec{x_3}[/math]. se obtienen los campos de velocidad \(\vec{\gamma}_u , \vec{\gamma}_v , \vec{\gamma}_z\) derivando \(\vec{r}\) respecto a cada coordenada.

1. Derivada respecto a \(u\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\ \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\ \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j}. \end{aligned} [/math]

2. Derivada respecto a \(v\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j}. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]

2.2 Factores de escala

El módulo de cada campo de velocidad define el factor de escala correspondiente \((h_u, h_v, h_z)\). Estos factores representan la relación entre un incremento infinitesimal de coordenada y la distancia real recorrida en el espacio físico.

Para cada campo de velocidad:

1. Para \(\gamma'_u\)→ [math] h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

2. Para \(\gamma'_v\)→ [math] h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{(-v)^2 + u^2} = \sqrt{v^2 + u^2} [/math]

3. Para \(\gamma'_z\)→ [math] h_z = |\gamma'_z| =1 [/math]

2.3 Vectores tangentes

Los vectores tangentes unitarios \(\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\) se obtienen normalizando los campos de velocidad, es decir, dividiendo cada uno entre su correspondiente factor de escala.

\begin{aligned} \vec{e}_u &= \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} (u,\, v,\, 0) \\[6pt] \vec{e}_v &= \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} (-v,\, u,\, 0) \\[6pt] \vec{e}_z &= \frac{\gamma'_z}{h_z} = (0,\, 0,\, 1) \end{aligned}

2.4 Comprobación de ortonormalidad

Para comprobar que los vectores \(\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\) forman una base ortonormal, se calculan sus respectivos productos escalares:

1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0[/math]

2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Dado que \( |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1 \) se verifica que los vectores son unitarios y por lo tanto forman una base ortonormal.

2.5 Comprobación de ortonormalidad orientada positivamente

El producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) [math] = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e}_z [/math]

Se puede concluir que la orientación es positiva ya que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector.

Conclusión
Al cumplirse los puntos anteriores, los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal orientada positivamente.

2.6 Representación gráfica y código MATLAB

%% LIMPIEZA
clear; clc; close all;

%% RANGO DE PARÁMETROS
u = linspace(0.2, 2, 200);   % u varía
v = linspace(0.2, 2, 200);   % v varía

%% PUNTO DE INTERÉS (u0,v0)
u_point = 1;      % donde se cortan las curvas
v_point = 1;

% Coordenadas cartesianas del punto
x_point = (u_point^2 - v_point^2)/2;   % = 0
y_point = u_point * v_point;           % = 1

%% CURVA gamma_u (u varía, v fijo = v_point)
v_fixed = v_point;
x_u = (u.^2 - v_fixed^2)/2;
y_u = u .* v_fixed;

%% CURVA gamma_v (v varía, u fijo = u_point)
u_fixed = u_point;
x_v = (u_fixed^2 - v.^2)/2;
y_v = u_fixed .* v;

%% VECTORES UNITARIOS e_u y e_v EN (u_point, v_point)
% Vectores tangentes
ru = [u_point,  v_point];   % r_u = (u,v)
rv = [-v_point, u_point];   % r_v = (-v,u)

% Módulo común
h  = norm(ru);

% Unitarios
eu = ru / h;
ev = rv / h;

%% GRÁFICO
figure;
hold on; grid on;

% Colores para que coincidan con tu red:
col_gamma_u = [0,   0.6, 0.8];   % azul/celeste (v = cte)
col_gamma_v = [0.9, 0.4, 0.1];   % naranja (u = cte)

% Curvas
p1 = plot(x_u, y_u, 'LineWidth', 1.5, 'Color', col_gamma_u); % gamma_u
p2 = plot(x_v, y_v, 'LineWidth', 1.5, 'Color', col_gamma_v); % gamma_v

% Vectores (flechas)
q1 = quiver(x_point, y_point, eu(1), eu(2), 0, ...
    'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.7);    % e_u
q2 = quiver(x_point, y_point, ev(1), ev(2), 0, ...
    'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.7);    % e_v

% Estética
title('Vectores tangentes a las líneas coordenadas');
xlabel('x');
ylabel('y');
xlim([-1.5 1.5]);
ylim([0 2.1]);
axis equal;

legend([p1, p2, q1, q2], ...
    {'Líneas \gamma_u', ...
     'Líneas \gamma_v', ...
     'Vector e_u', ...
     'Vector e_v'}, ...
    'Location', 'best');

hold off;

3 Cálculo de las matrices de cambio de base.

A continuación, se busca obtener las matrices de cambio de base [math] Q[/math] y [math]Q^-1 [/math]. Las matrices de cambio de base permiten transformar los vectores de una base a otra.

La matriz [math] Q[/math] permite transformar un vector en la base de coordenadas cilíndrico-parabólicas \(\{e_u, e_v, e_z\}\) a la base del sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\).

Al colocar los vectores de la base física en las columnas de la matriz se obtiene la matriz [math] Q[/math] buscada:

[math] Q = (e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z}) = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Con la matriz [math] Q^-1 [/math], se podrá pasar de \(\{i, j, k\}\) a \(\{e_u, e_v, e_z\}\), multiplicando el vector que se quiere transformar por esta matriz. Para obtenerla se calcula la matriz inversa de [math] Q[/math], obteniendo así la matriz [math] Q^-1[/math] buscada, al tener [math] detQ= 1[/math] se puede comprobar que [math] Q^-1[/math] coincide con la adjunta de la traspuesta de [math] Q[/math], quedando finalmente de la siguiente manera:

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

4 Campo de posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico.

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas (u,v,z) las nuevas coordenadas se obtienen a partir del producto de la matriz inversa [math]Q^-1[/math] y el vector de posición en coordenas cartesianas \(\vec{r}\). Por un lado, la matriz inversa se ha obtenido en el apartado anterior. Para el vector posición en coordenadas cartesianas, se conoce la siguiente relación:

[math] x_1= \frac{\left(u^2-v^2\right)}{2}\\ x_2 = uv\\ x_3 = z\\ [/math]

Sabiendo la matriz inversa, obtenemos:

Su forma vectorial sería la siguiente:

[math]\vec{r}_{\mathrm{[Cilíndricas Parabólicas]}} = \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\[/math]

5 Gradiente de un campo escalar

En este apartado se pide calcular la expresión del gradiente de un campo escalar en el sistema cilíndrico parabólico. Para después usar esta expresión para calcular el gradiente del campo escalar [math] f(x_1,x_2,x_3)=x_2 [/math] en el punto de coordenadas cartesianas [math] (x_1,x_2,x_3)=(0,1,1) [/math].

5.1 Calcular la expresión del gradiente de un campo escalar en el sistema cilíndrico parabólico

Si tomamos la fórmula general del gradiente:

[math] \nabla = \frac{e_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial x_1} + \frac{e_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial x_2} + \frac{e_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial x_3} [/math]

Aplicado a coordenadas cilíndricas parabólicas sería:

[math] \nabla = \frac{e_u}{h_u} \frac{\partial}{\partial u} + \frac{e_v}{h_v} \frac{\partial}{\partial v} + \frac{e_z}{h_z} \frac{\partial}{\partial z} [/math]

Donde [math] h_u, h_v, h_z [/math] son los factores de escala calculados en el apartado 2:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_z = 1 [/math]

Por lo tanto, la fórmula para calcular el gradiente de un campo [math] f(u,v,z) [/math] será:

[math] \nabla f(u,v,z) = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \left( \frac{\partial f}{\partial u} e_u + \frac{\partial f}{\partial v} e_v \right) + \frac{\partial f}{\partial z} e_z [/math]

5.2 Calcular el gradiente del campo escalar en un punto

Para calcular el gradiente del campo escalar [math] f(x_1,x_2,x_3)=x_2 [/math] en el punto [math] (0,1,1) [/math], primero se realiza el cambio de coordenadas:

[math] f(u,v,z) = uv [/math]

Para el punto se tiene el sistema de ecuaciones:

[math] 0 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \qquad 1 = uv, \qquad 1 = z [/math]

Resolviéndolo se obtiene el punto:

[math] (u,v,z) = (1,1,1) [/math]

Para calcular el gradiente se comienzan calculando las derivadas parciales:

[math] \frac{\partial f}{\partial u} = v, \qquad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = 0 [/math]

En consecuencia, el gradiente del campo es:

[math] \nabla f(u,v,z) = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} \left( v\,e_u + u\,e_v \right) + 0\cdot e_z [/math]

Aplicándolo al punto:

[math] \nabla f(1,1,1) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,1,0) [/math]

6 Divergencia de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

Continuando con el estudio de los operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas parabólicas, este apartado se centra en la obtención de la expresión analítica de la divergencia. Para ello, se partirá de la expresión estándar en coordenadas ortogonales, la cual será particularizada sustituyendo los coeficientes métricos del sistema. Finalmente, se aplicará la ecuación resultante al vector de posición \(\vec{r}\) para obtener su valor de divergencia como ejemplo práctico de cálculo.

La divergencia de un campo vectorial genérico \(\vec{F}\) = [math]F_u[/math] [math]\vec{e}_u[/math] + [math]F_v[/math] [math]\vec{e}_v[/math] + [math]F_z[/math] [math]\vec{e}_z[/math] en coordenadas cilíndricas parabólicas se define mediante la siguiente relación:

[math]\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].[/math]

Para aplicar esta fórmula al vector de posición \(\vec{r}\), recopilamos primero los elementos característicos del sistema calculados en secciones previas:

• Factores de escala: [math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]
• Jacobiano: [math]h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2+v^2})(\sqrt{u^2+v^2})(1) = u^2 + v^2[/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] F_u = r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_v = r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_z = r_z = z. [/math]

Las derivadas parciales son:

• Respecto a u: [math]\frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{u^3 + uv^2}{2} \right) = \frac{3u^2 + v^2}{2}[/math]
• Respecto a v: [math]\frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{vu^2 + v^3}{2} \right) = \frac{u^2 + 3v^2}{2}[/math]
• Respecto a z: [math]\frac{\partial}{\partial z} \left( z(u^2+v^2) \right) = u^2 + v^2[/math]

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales y el valor del jacobiano en la expresión de la divergencia:

[math]\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}[(\frac{3u^2+v^2}{2})+(\frac{u^2+3v^2}{2})+(u^2 + v^2)] = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3[/math]

Obteniendo finalmente: [math]\nabla\cdot\vec r = 3[/math]

7 Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

El rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico \((u, v, z)\) es la medida del giro local del campo expresada en la base \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\). El rotacional en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:

[math] \nabla \times \vec{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left| \begin{matrix} h_u \vec{e}_u & h_v \vec{e}_v & h_z \vec{e}_z \\ \dfrac{\partial}{\partial u} & \dfrac{\partial}{\partial v} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z \end{matrix} \right| [/math]

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \qquad h_z = 1. [/math]

y por tanto:

[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 \cdot 1 = u^2 + v^2. [/math]

Sustituyendo los factores de escala en la expresión anterior, obtenemos:

[math] \nabla \times \vec{F} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left| \begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\,\vec{e}_u & \sqrt{u^2 + v^2}\,\vec{e}_v & \vec{e}_z \\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial u} & \dfrac{\partial}{\partial v} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \sqrt{u^2 + v^2}\,F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\,F_v & F_z \end{matrix} \right|. [/math]

Se calcula el rotacional por componentes

[math] \vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0 [/math]

Como el resultado del gradiente es [math] 0 [/math], se puede concluir que se trata de un campo irrotacional.

[math] \operatorname{rot}(\vec{r}) = \nabla \times \vec{r} = 0\cdot \vec{e}_u + 0\cdot \vec{e}_v + 0\cdot \vec{e}_z = \vec{0} [/math]

8 Superficies de nivel.

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Sabemos, que las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

[math]\begin{cases} x &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\ y &= uv\\ z &= z \end{cases}[/math]

Por tanto tenemos que:

• Las superficies con \(u\) constante forman un cilindro parabólico con concavidad negativa (ya que a<0, dónde 'a' es el coeficiente de la x en la ecuación de la curva sobre el plano z=0), es decir, sigue la dirección negativa del eje de \(x\), [math]\vec{(-i)}.[/math]
  
• Las superficies con \(v\) constante forman un cilindro parabólico con concavidad positiva (dónde a>0), es decir, sigue la dirección opuesta, la dirección positiva del eje de \(x\),[math]\vec{(i)}.[/math]
  
• Las superficies con \(z\) constante forman planos horizontales, es decir, paralelos al plano \(OXY\) y a la altura \(z\) correspondiente.

Código MATLAB y representación gráfica:

%Superficie f1
% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0.1, 2, 100); % v es libre
z = linspace(-2, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla 
[V, Z] = meshgrid(v, z); % Crear mallas para v y z
X = (c^2-V.^2) / 2;    % Coordenada x
Y = c * V;               % Coordenada y (constante en u = c)

% Gráfico 
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap jet; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2
% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0.1, 2, 100); % u > 0 y es libre
z = linspace(-2, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla 
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
X = (U.^2 - c^2) / 2;    % Coordenada x
Y = U * c;               % Coordenada y (constante en v = c)

% Gráfico 
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap jet; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3
% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 100); 
y_f3 = linspace(-5, 5, 100);  

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);  

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1; 
z_malla = z_const * ones(size(x_malla));  % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure; 
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Etiquetas y título
xlabel('x'); 
ylabel('y'); 
zlabel('z'); 
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]); 

% Ajustes para mejor visualización
axis equal;  % Mantener proporciones iguales entre los ejes
grid on;     % Añadir rejilla
colormap cool; % Mejorar esquema de colores
colorbar;    % Añadir barra de colores}}

Superficies regladas:

Una superficie reglada es la superficie generada por un vector director [math]\vec{w}(t)[/math] que forma rectas en esa dirección mientras se mueve sobre una curva [math]\gamma(t)[/math] llamada directriz. Se puede comprobar que cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por: [math] \Phi(u, v) = \gamma(v) + u·\vec{w}(v), [/math]

Sabiendo que las superficies f1 y f2 son cilindros parabólicos y que f3 es un plano horizontal, se comprobará en cada caso si son superficies regladas.

• En los casos de f1 y f2 que son cilindros parabólicos son superficies regladas porque están formadas por líneas rectas paralelas al eje del cilindro (también al eje z), teniendo por tanto a [math]\vec{w}(t)=\vec{k}[/math] como vector director, estas rectas se extienden a lo largo de la curva [math]\gamma(t)[/math] en forma de parábola (directriz) que está en el plano \(OXY\), y por tanto, cada punto de la superficie pertenece a una línea recta. Estas superficies regladas quedarían así:

[math] \gamma_1(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), u_0t, 0)[/math] dónde [math] u_0 [/math] se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \(OXY\)) [math] \\ \Phi_1(u, v) = \gamma_1(v) + u·\vec{w}(v)= (\left( \frac{u_0^2 - v^2}{2}\right), u_0v, 0) + u(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - v^2}{2}\right), u_0v, u) [/math] [math] \gamma_2(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)[/math] dónde [math] v_0 [/math] se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \(OXY\)) [math] \\ \Phi_2(u, v) = \gamma_2(v) + u·\vec{w}(v)= (\left( \frac{v^2 - v_0^2}{2}\right), vv_0, 0) + u(0, 0, 1)= (\left( \frac{v^2 - v_0^2}{2}\right), vv_0, u) [/math]

• Ahora para f3, se puede ver como al ser un plano horizontal está definido por infinidad de rectas paralelas al eje x o eje y (con el vector director en ese mismo sentido) siguiendo la curva paralela a la dirección del eje opuesto, es decir, si por ejemplo tomamos una recta paralela al eje x como la curva [math] \gamma_u(t)=(t, 0, 0)[/math] el vector director de la familia de rectas sería [math]\vec{w}(t)=\vec{j}.[/math] Por tanto, también esta definida la superficie por una familia de rectas y cada punto de ella pertenece a una de sus rectas. Esta superficie reglada quedaría así:

[math] \Phi_3(u, v) = \gamma(v) + u·\vec{w}(v)= (v, 0, 0) + u(0, 1, 0)= (v, u, 0) [/math]

Uso de las superficies regladas en la ingeniería:

Las superficies regladas se utilizan en ingeniería por su atractivo visual y su eficiente distribución de fuerzas. Algunos ejemplos dónde se incluyen son en los puentes atirantados o colgantes (los cables y tableros forman superficies regladas), en las cubiertas de estadios y auditorios con superficies de paraboloides hiperbólicos, en las antenas parabólicas para maximizar la captación de señales, en las aspas helicoidales de turbinas eólicas para mejorar la eficiencia aerodinámica y en las estructuras decorativas como hiperboloides en arquitectura. Se desarrollan a continuación algunos más concretos de la ingeniería civil dónde se aplican estas superficies regladas.

• Bodegas Ysios, de Santiago Calatrava

Se emplean las superficies regladas para crear una cubierta de diseño curvilíneo. Esta forma es un diseño icónico que combina funcionalidad con un gran impacto visual.

Bodegas de Ysios (España)

• Torre Shukhov, Rusia

La primera estructura hiperboloide diagrid del mundo es la Torre Shukhov, la cual usa las superficies regladas. Esta forma permite una distribución eficiente de las cargas y una gran estabilidad estructural, con un uso mínimo de materiales, reduciendo el coste de la construcción.

• The Oculus, Estados Unidos

En la estación del World Trade Center, se usa una elipse en el plano y líneas generatrices de pendiente constante, permitiendo cubrir grandes espacios sin soportes intermedios. Dota a la estructura de una eficiencia constructiva y flexibilidad de diseño, maximizando el espacio útil.

9 Curvatura de la parábola.

9.1 Cálculo de la curvatura de la parábola

Dada la parábola [math] y=-Ax^2+B; [/math] dónde A y B son 3 y 1, respectivamente. Tenemos [math] y=-3x^2+1 x ∈ [−1, 1]. [/math]

[math] y=f(t)=3t^2+1\\ f'(t)=-6t\\ f''(t)=-6\\ [/math]

Además, la fórmula de la curvatura es:

Los valores de velocidad y aceleración serán:

[math] \vec{r}= t\vec{i}+f(t)\vec{j}+0\vec{k}\\ [/math]

[math] \vec{v}(t)=\vec{r}'=\vec{i}+f'(t)\vec{j}\\ [/math]

[math] \vec{a}(t)=\vec{r}''=f''(t)\vec{j}\\ [/math]

El producto vectorial será:

[math] \vec{v}(t)×\vec{a}(t)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & f'(t) & 0 \\ 0 & f''(t) & 0 \end{vmatrix}=f''(t)\vec{k}= -6\vec{k}\\ [/math]

Para el cubo del módulo de la velocidad:

[math]|\vec{v}(t)|^3 = \left(\sqrt{1^2 + (f'(t))^2}\right)^3[/math]

Con todo ello, sustituimos en la fórmula de la curvatura y obtenemos:

9.2 Puntos de mayor y menor curvatura

Evaluaremos en puntos específicos de la curvatura:

1. Para t=0 [math] \kappa(0)=\frac{6}{(1)^{3/2}}= 6\\ [/math] 2. Para t=1 [math] \kappa(1)=\frac{6}{(1+36)^{3/2}}=\frac{6}{37^{3/2}} \\ [/math] 3. Para t=-1 [math] \kappa(-1)=\frac{6}{(1+36)^{3/2}}= \frac{6}{37^{3/2}} \\[/math]

La curvatura depende de x, pero no tiene puntos críticos en los que esta cambie. La curvatura es mayor en el vértice de la parábola, el cual se encuentra en t=0, con un valor de 4. Por otro lado, la curvatura disminuye a medida que nos alejemos del vértice, en este caso como t ∈ [−1, 1], los puntos de menor curvatura serán t=1 y t=-1, con un valor de [math]\frac{6}{37^{3/2}}[/math].

9.3 Representación gráfica en MATLAB y su código

Curvatura

x = linspace(-1, 1, 400);
y = -3*x.^2 + 1;

% Derivadas
y1 = gradient(y, x);
y2 = gradient(y1, x);

% Curvatura: 
kappa = abs(y2) ./ (1 + y1.^2).^(3/2);

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa,'r', 'LineWidth', 1.5)
title('Curvatura de la parábola y = -3x^2 + 1')
xlabel('t(x)')
ylabel('\kappa(x)')
xticks(-1:0.25:1);   % ticks del eje X cada 0.25
yticks(0:1:6);       % ticks del eje X cada 1
grid on

10 Usos de la parábola en la ingeniería.

La parábola es una curva con propiedades de gran utilidad debido a sus diversas aplicaciones. A continuación, se van a explicar algunos ejemplos en los que se emplea:

10.1 Puentes

Puentes colgantes

La parábola permite una alta capacidad para soportar cargas pesadas de forma estable y eficiente. Es por ello que se emplea para los puentes colgantes, con la colocación de los cables en forma parabólica permite que el peso del cable se distribuya de manera uniforme a lo largo de la curva.

Puente colgante Estrecho de Akashi (Japón)

Puentes arco

A su vez, también se emplea en puestes de tipo arco, ya que la forma de la parábola permite que las fuerzas de compresión se distribuyan a lo largo del arco de manera uniforme, trasladando el peso a los apoyos y reduciendo los costes en materiales.

Puente Dom Luis I (Portugal)

10.2 Presas

Del mismo modo que con los puentes, la forma de parábola en las presas tipo arco permite transmitir la presión del agua a los estribos de la montaña, reduciendo la cantidad de material necesario. A la vez que aporta una mayor resistencia.

Presa bóveda múltiple de Daniel-Johnson (Canadá)

10.3 Antenas parabólicas

La parábola no solo tiene utilidad en aplicaciones estructurales, ya que permite concentrar señales de radio y televisión débiles en un punto focal para mejorar su recepción. La forma parabólica refleja las ondas electromagnéticas entrantes y las dirige hacia el receptor, que se sitúa en el foco. A su vez, la antena puede dirigir las señales en un haz estrecho para la transmisión.

10.4 Faros

La parábola se emplea en la forma de los faros para ayudar a concentrar la luz en un haz potente y paralelo. Esto se debe a la propiedad de que cualquier rayo que sale de su foco se va a reflejar de manera paralela al eje. Por ello, si se coloca la bombilla en el foco de la parábola los faros dirigen la luz hacia delante sin dispersarla, maximizando el alcance y la intensidad de iluminación.

Esquema reflejo haces