Diferencia entre revisiones de «Vortice de Rankine (Grupo 38)»

Revisión del 13:05 3 dic 2025

1 Introducción

El vórtice de Rankine es un modelo simplificado de rotación de fluidos. Es muy útil para la modelización de tornados y huracanes, con centros

2 Campo de velocidades

2.1 Cálculo de la circulación

Empezamos calculando la circulación del vórtice proveído, un tornado intenso de categoria EF4. Sabiendo que [math] R=250m [/math] y [math] v_{\theta}(R)=90m/s=\frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho [/math] podemos calcular que [math] \Gamma=\frac{90*2\pi*250^{2}}{250}=45000\pi [/math]

2.2 Módulo de la velocidad

Después, tras obtener este dato, podemos graficar en matlab la tabla que relaciona el módulo de la velocidad respecto a la distancia al centro, usando el código aquí debajo:

Grafico del módulo de la velocidad respecto a la distancia al centro

x=linspace(0,1000,2000);
y=[];
for i=x;
    if i>250;
        y=[y,(45000*pi)/(2*pi*i)];
    else
        y=[y,(45000*pi*i)/(2*pi*250*250)];
    end
end
plot(x,y);
axis([0,1000,0,100])
xlabel('Distancia al centro')
ylabel('Velocidad')

Sabemos que el módulo de la velocidad es [math]v(r)=v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\gt R \\\end{Bmatrix}[/math] y por tanto, debemos separar el gráfico en dos partes: uno para el caso [math]r\le R[/math] y otro para el caso [math]r\gt R[/math]

2.3 Campo de velocidades

Para representar el campo de velocidades podemos representarlo en un plano 2D en vez de una figura 3D debido a que la velocidad se nos da en coordenadas polares y la coordenada z es siempre 0 y por tanto podemos obviar su existencia y operar como si fueran coordenadas polares en el plano z=0. Para representarlo, usamos el código aquí enseñado para poder representar el campo vectorial, con colores distintos para interior y exterior del vórtice

Campo de velocidades del Vórtice de Rankine

rho = linspace(0.1, 800, 100); 
tht = linspace(0, 2*pi, 100); 
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); 
x = Mrho .* cos(Mtht); 
y = Mrho .* sin(Mtht); 
Vtheta = 45000*pi ./ (2 * pi * 250^2) .* Mrho; 
Vtheta(Mrho > 250) = 45000*pi ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > 250)); 
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= 250), y(Mrho <= 250), Vx(Mrho <= 250), Vy(Mrho <= 250), 1, 'r'); 
quiver(x(Mrho > 250), y(Mrho > 250), Vx(Mrho > 250), Vy(Mrho > 250), 1, 'b'); 
hold off;
axis equal
axis([-800,800,-800,800]);
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq 250)', 'Exterior del vórtice (r > 250)');

3 Divergencia y rotacional

3.1 Cálculo de la divergencia

Para calcular analíticamente la divergencia del campo [math]\overrightarrow{v}[/math] usamos la fórmula de la divergencia en coordenadas cilíndricas y calculamos para ambos casos posibles.
En el caso de que [math]\rho \le 250[/math] tenemos que [math]\overrightarrow{v}=\frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho \overrightarrow{e_{\theta}}=\frac{9}{25}\rho\overrightarrow{e_{\theta}}[/math] y aplicando la fórmula de la divergencia obtenemos [math]\nabla \bullet \overrightarrow{v}=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial \rho v_{\rho}}{\partial \rho}+\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial \rho v_{z}}{\partial z})=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial(\frac{9}{25}\rho) }{\partial \theta})=0[/math]
Por el otro lado tenemos la rama en la que [math]\rho \lt 250[/math] y simplificando por esta rama obtenemos [math]\overrightarrow{v}=\frac{\Gamma}{2\pi \rho}\overrightarrow{e_{\theta}}=\frac{22500}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}[/math] y aplicando la misma fórmula de antes obtenemos [math]\nabla \bullet \overrightarrow{v}=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial \rho v_{\rho}}{\partial \rho}+\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta}+\frac{\partial \rho v_{z}}{\partial z})=\frac{1}{\rho}(\frac{\partial(\frac{25000}{\rho}) }{\partial \theta})=0[/math]
Como ambas ramas dan el mismo resultado podemos afirmar claramente que [math]\nabla \bullet \overrightarrow{v}=0 [/math]
Este resultado se podia ver claramente con un poco de conocimiento de la fórmula y de derivadas parciales, ya que se puede ver que la componente [math]\theta[/math] de la velocidad sólo depende de [math]\rho[/math] y no de [math]\theta[/math]
Significado físico del resultado
La divergencia indica si entra más o menos flujo en una región. Si este resultado es 0 significa que el flujo es constante. Esto es típico de modelos ideales, tales como el que estamos estudiando, en el que el fluido ni se comprime ni se expande.

3.2 Cálculo del rotacional

Para el cálculo del rotacional podemos usar los valores de [math]\overrightarrow{v}[/math] que hemos previamente calculado ya.
En el caso [math]\rho \le 250[/math] tenemos que [math]\nabla \times \overrightarrow{v}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_{\rho}} & \rho \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\\frac{\partial }{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\0 &\frac{9}{25}\rho^{2}&0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\frac{18}{25}\rho \overrightarrow{e_{z}}=\frac{18}{25}\overrightarrow{e_{z}}[/math]
Y en el caso [math]\rho \lt 250[/math] tenemos que [math]\nabla \times \overrightarrow{v}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_{\rho}} & \rho \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\\frac{\partial }{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\0 &22500&0\end{vmatrix}=0[/math]
Por tanto tenemos[math]\nabla \times \overrightarrow{v}=\begin{Bmatrix}\frac{18}{25}\overrightarrow{e_{z}} & r\leq R \\0 & r\gt R \\\end{Bmatrix}[/math] Para representar el rotacional usamos el siguiente código:

Representación del rotacional del vórtice de Rankine

rho = linspace(0.1, 800, 100); 
tht = linspace(0, 2*pi, 100); 
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht);
x = Mrho .* cos(Mtht); 
y = Mrho .* sin(Mtht); 
z=18/25.*ones(size(y));
Vx=zeros(size(z));
Vy=zeros(size(z));
Vz=18/25.*ones(size(z));
Vz(Mrho > 250)=0;
quiver3(x,y,z,Vx,Vy,Vz);
title('Representación grafica del rotacional del vórtice de Rankine')

3.3 Magnitud de la vorticidad

Representación de la vorticidad del vórtice de Rankine

r=linspace(0,250,250);
th=linspace(0,2*pi,360);
[R,TH]=meshgrid(r,th);
X=R.*cos(TH);
Y=R.*sin(TH);
Z=(18/25).*ones(size(X));
hold on
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','None');
r=linspace(250,1000,750);
th=linspace(0,2*pi,360);
[R,TH]=meshgrid(r,th);
X=R.*cos(TH);
Y=R.*sin(TH);
Z=zeros(size(X));
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','None');
hold off
axis equal
axis([-500,500,-500,500]);
colorbar;
legend('Ojo del vórtice (r \leq 250)', 'Exterior del vórtice (r > 250)');