Diferencia entre revisiones de «Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (GRUPO 01)»
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| + | f(x_1,x_2,x_3) &= x_2 = uv \\ | ||
| + | \text{P} &= (x_1,x_2,x_3) = (0,1,1) \\ | ||
| + | \nabla f &= \frac{\partial f}{\partial u} \frac{1}{h_u} \hat{\mathbf{e}}_u + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{1}{h_v} \hat{\mathbf{e}}_v + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{1}{h_z} \hat{\mathbf{e}}_z \\ | ||
| + | y&=uv\\ | ||
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| + | \nabla f &= \frac{1}{h_u} v \, \hat{\mathbf{e}}_u +\frac{1}{h_v} u \, \hat{\mathbf{e}}_v + \frac{1}{h_z} 0 \\ | ||
| + | &= \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}} \bar{\mathbf{e}}_u + \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}} \bar{\mathbf{e}}_v \\ | ||
| + | \nabla f (\text{P}) &= (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0) | ||
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Revisión del 05:25 3 dic 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas. Grupo 01 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Miguel Montano Reynoso, Héctor Mota Sánchez, Guillermo Verdejo García, Paola Villares Jordán |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
2 Cálculo del gradiente
[math] \begin{align} \nabla f &= \sum_{i=1}^{3} \frac{1}{h_i} \frac{\partial f}{\partial q_i} \hat{\mathbf{e}}_i \\ u&\gt0 \\ f(x_1,x_2,x_3) &= x_2 = uv \\ \text{P} &= (x_1,x_2,x_3) = (0,1,1) \\ \nabla f &= \frac{\partial f}{\partial u} \frac{1}{h_u} \hat{\mathbf{e}}_u + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{1}{h_v} \hat{\mathbf{e}}_v + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{1}{h_z} \hat{\mathbf{e}}_z \\ y&=uv\\ x&=\frac{u^2-v^2}{2} \\ \nabla f &= \frac{1}{h_u} v \, \hat{\mathbf{e}}_u +\frac{1}{h_v} u \, \hat{\mathbf{e}}_v + \frac{1}{h_z} 0 \\ &= \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}} \bar{\mathbf{e}}_u + \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}} \bar{\mathbf{e}}_v \\ \nabla f (\text{P}) &= (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0) \end{align} [/math]
3 Conclusiones
4 Pregunta 7: Rotacional
El rotacional en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula particularizando en la siguiente fórmula:
[math] rot( \vec{F})=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math]
Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):
[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]
Y también los factores de escala:
[math] h_u = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_v = \sqrt{u^2+v^2} , \quad h_z = 1. [/math]
Se obtiene la siguiente expresión tras operar:
[math] rot(\vec{r})=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right | [/math]
Por comodidad a la hora de mostrar los resultados, se calculará por componentes a continuación:
[math] \vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0 [/math]
[math] \vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0 [/math]
[math] \vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0 [/math]
Como el resultado del gradiente es [math] 0 [/math], se puede concluir que se trata de un campo irrotacional.
[math] rot (\vec {r}) = \nabla × \vec{r}= 0·\vec{e_u} + 0·\vec{e_v} + 0·\vec{e_z}= 0 [/math]
5 Pregunta 9: Curvatura
Dada la parábola:
[math] y=-Ax^2+B; [/math] dónde [math] A=3 y B=1; x ∈ [−1, 1] [/math]
Resultando:
[math] y=-3x^2+1; x ∈ [−1, 1] [/math]
La fórmula de la curvatura es:
[math] \kappa(x)=\frac{|\vec{v}(x)×\vec{a}(x)|}{|\vec{v}(x)|^3} [/math]
Para nuestro caso, en el plazo z=0, tomamos y=f(x) y x=x resultando:
[math]
\vec{r}= x\vec{i}+f(x)\vec{j}+0\vec{k}
[/math]
[math] \vec{v}(x)=\vec{r}'=\vec{i}+f'(x)\vec{j} [/math]
[math] \vec{a}(x)=\vec{r}''=f''(x)\vec{j} [/math]
Haciendo el productor escalar de la velocidad y la aceleración obtenemos el numerador de la fórmula de la curvatura: [math] \vec{v}(x)×\vec{a}(x) = \left|\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f''(x) & 0 \end{matrix}\right|= f''(x)\vec{k} [/math]
Para obtener el denominador de la fórmula de la curvatura, se eleva al cubo el módulo de la velocidad: [math]|\vec{v}(x)|^3 = \left(\sqrt{1^2 + (f'(x))^2}\right)^3[/math]
[math] f(x)=-3x^2+1 [/math]
[math] f'(x)= 6x [/math]
[math] f''(x)= 6 [/math]
Sustituyendo, la curvatura finalmente es:
[math] \kappa(x)=\frac{6}{(1+36x^2)^{3/2}} [/math]
Ahora, evaluamos los puntos críticos de la parábola, que son: x=-1, x=1, x=0.
1. Para [math]x = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = 0,027 [/math]
2. Para [math]x = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = 0,027 [/math]
3. Para [math]x = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}} = 6 [/math]
