Diferencia entre revisiones de «La Espiral de Ekman (Grupo 42)»

Revisión del 17:47 2 dic 2025

1 Introducción

Este artículo tiene como objetivo el estudio de la espiral de Ekman, la cual describe el movimiento del agua en el océano cuando sopla un viento constante sobre la superficie. La fricción entre el viento y el agua crea una corriente superficial, sin embargo, dicha corriente no avanza en la dirección del viento, sino desviada por la fuerza de Coriolis (fuerza aparente debido a la rotación de la Tierra, la cual desvía el movimiento de los objetos hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur).

En el hemisferio norte cada capa de agua se mueve ligeramente hacia la derecha respecto a la capa superior, mientras que su velocidad disminuye en función de la profundidad por la fricción interna. Esto provoca una estructura helicoidal, conocida como la espiral de Ekman.

La suma de todas las capas da lugar al transporte de Ekman, que se dirige 90º respecto al viento. Este proceso es fundamental en la dinámica oceánica y explica fenómenos como los afloramientos costeros.

Las primeras observaciones de este fenómeno fueron las del oceanógrafo noruego Fridtjof Nansen, posteriormente, en 1902, Vagn Walfrid Ekman fue el que explicó el fenómeno mediante un modelo que combinaba rozamiento y fuerza de Coriolis.

La velocidad del fluido en cada capa de profundidad se describe con: [math] \vec{V}= u(z)\vec{i}+v(z)\vec{j} [/math]

donde [math]\vec{i}[/math] apunta al este, [math]\vec{j}[/math] al norte, y 𝑧 es la profundidad (con 𝑧 ≤ 0, siendo 𝑧 = 0 la superficie). Las componentes 𝑢(𝑧) y 𝑣(𝑧) satisfacen las ecuaciones de Ekman:

Donde las soluciones son:

• [math] V_{0} [/math] es la intensidad de la velocidad superficial inducida por el viento;
  
• [math] d_{E}=\sqrt{\frac{2 \cdot V_{e}}{|f|}} [/math] es la profundidad de Ekman, la distancia vertical en la que la influencia del viento y la fuerza de Coriolis afectan significativamente el movimiento del agua
  
• [math] \vartheta [/math] es una fase inicial determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis;
  
• sgn es la función signo:
  

2 Parámetro de Coriolis

El parámetro de coriolis en la espiral de Ekman (f), representa el efecto de rotación de la Tierra sobre el movimiento de los fluidos. Se define como: [math] f=2\Omega sen(\phi ) [/math], donde [math] \Omega [/math] es la velocidad angular de la Tierra y [math] \phi [/math] la latitud. Aproximadamente, la velocidad angular de la tierra es [math] \Omega =7.2921\cdot 10^{-5} rad/s [/math].
Para una latitud de 30°10′24.2″N, es decir, de [math] \phi =30.1734° [/math], se determina sustituyendo en la ecuación anterior que el parámetro de Coriolis es de:

La profundidad de Ekman [math]{d_E}[/math] se define como la escala de profundidad a la que penetra la influencia del viento. Se calcula con la fórmula:

En nuestro caso para la localidad dada, y viscosidad turbulenta: [math]𝜈_{𝑒} = 0.05 m^{2}/s[/math], sería:

Dependiendo de la latitud, el valor del parámetro de Coriolis puede ser negativo o positivo. Sustituyendo en la fórmula dada, se demuestra que:

• Para el hemisferio norte [math] (0^{\circ}\lt \phi \lt 90^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f\gt0 [/math]
• Para el Ecuador [math] (\phi = 0^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f=0 [/math]
• Para el hemisferio sur [math] (-90^{\circ}\lt \phi \lt 0^{\circ}) [/math], el parámetro [math] f\lt0 [/math]

Esto implica que:

• En el hemisferio Norte (f>0) el flujo se desvía a la derecha de la dirección del viento y la espiral gira con profundidad en sentido horario.
• En el emisferio Sur (f<0) el flujo se desvía a la izquierda de la dirección de viento y la espiral gira en sentido antihorario.
• En el ecuador el efecto de Coriolis desaparace, el modelo clásico de la espiral de Ekman deja de tener sentido.

3 Valor de la fase inicial, ϑ

ϑ es la fase inicial (ángulo de desviación superficial), determinada por la dirección del viento respecto a la fuerza de Coriolis.

En el apartado anterior se ha obtenido que [math] f=7.3303\cdot 10^{-5} \frac{1}{s} [/math]. Para obtener la fase inicial, utilizamos las dos siguientes ecuaciones:

• [math]u(z)=sgn(f)V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math]
  
• [math]v(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) [/math]
  

Al ser [math] f\gt0 [/math], concluimos que [math] sgn(f)=1 [/math], y por lo tanto [math]u(z)=V_{o}e^{z/d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right )[/math].
Para [math] z=0 [/math]:

• [math]u(0)=V_{o}cos\left ( \vartheta \right )[/math]
  
• [math]v(0)=V_{o}sin\left ( \vartheta \right ) [/math]
  

El ángulo incial de las ecuaciones del flujo de Ekman depende tan solo, de las condiciones físicas inciales.

El ángulo de la corriente debido a la rotación terrestre está desviado en superficie aproximadamente [math] 45^{\circ} [/math]a la derecha del viento en el hemisferio norte, es decir, [math] \pi /4 [/math] rad.
Por lo tanto, se obtiene que la fase inicial es [math] \vartheta= -\frac{3\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}[/math]

4 Soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ekman

Las ecuaciones diferenciales de Ekman vienen definidas de la siguiente manera:

Cuyas soluciones se muestran:

Por lo tanto, para verificar la igualdad, tan solo hay que derivar dos veces respecto de z las soluciones propuestas:

• [math] \frac{du}{dz}=sgn(f)V_{o}\left ( \left ( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}cos\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) -\left( e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}} sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ) \right )=\frac{sgn(f)V_{o}}{d_{E}}e^{z/d_{E}}\left(cos\left( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)-sin\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right) \right)[/math]
  

• [math] \frac{dv}{dz}=V_{o}\left ( \left ( \frac{e^{z/d_{E}}}{d_{E}}sin\left ( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right ) \right ) +\left( e^{z/d_{E}}\frac{1}{d_{E}} cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right) \right ) \right )=\frac{V_{o}}{d_{E}}e^{z/d_{E}}\left(sin\left( \frac{z}{d_{E}}+\vartheta \right)+cos\left(\frac{z}{d_{E}}+\vartheta\right) \right) [/math]
  

Se verifican, entonces, las ecuaciones diferenciales de Ekman y sus soluciones.

5 Representación del campo vectorial [math]\vec{V}[/math]

La representación del campo vectorial en Matlab de la Espiral de Eckeman sería:

Archivo:Figura campo vectorial.gif

%% Apartado 5
clc;close all;clear;
omega = 7.2921e-5;  % Velocidad angular de la Tierra (rad/s)
phi = 30+10/60+24.2/3600;  % Latitud en grados
V0 = 0.15;  % Velocidad superficial inducida por el viento (m/s)
nu = 0.05;  % Viscosidad turbulenta (m^2/s)
theta0 = 5*pi/4;  % Ángulo inicial en radianes

% Calcular el parámetro de Coriolis f
f = 2 * omega * sind(phi);

% Calcular la profundidad de Ekman
delta = sqrt(2 * nu / abs(f));

z_max = 2 * delta;  % Profundidad máxima para la animación
n_frames = 70;  % Número de frames de la animación
z_vals = linspace(0, z_max, n_frames);  % Valores de profundidad
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 7), linspace(-1, 1, 7));  % Malla para visualizar el campo vectorial

figure(1);
view(3)
%axis equal;

% Calcular las componentes de la velocidad
u_m = (f/abs(f))*V0 * exp(-z_vals / delta)  .* cos(-z_vals / delta+theta0);  % Componente u(z)
v_m = V0 * exp(-z_vals / delta)  .* sin(-z_vals / delta+theta0);  % Componente v(z)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
 hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
    z = z_vals(k);  % Profundidad actual
    u = u_m(k);  % Componente u(z)
    v = v_m(k);  % Componente v(z)

    % Calcular los campos vectoriales para este valor de z
    quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

    title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

    xlim([-1.2 1.2]);
    ylim([-1.2 1.2]);
    zlim([-z_max 0])
    % Pausa para actualizar la animación
    pause(0.1);
    %Reinicio grafica
    cla
    plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
    xlabel('Oeste - Este (m)');
    ylabel('Norte - Sur (m)');
    zlabel('Profundidad (m)');
    grid on
end
hold off

%%
figure(2);
view(3)
plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
 hold on
% Inicializar la animación
for k = 1:n_frames
    z = z_vals(k);  % Profundidad actual
    u = u_m(k);  % Componente u(z)
    v = v_m(k);  % Componente v(z)

    % Calcular los campos vectoriales para este valor de z
    quiver3(X, Y,-z*ones(size(X)), u * ones(size(X)), v * ones(size(Y)),zeros(size(X)), 'AutoScale', 'off', 'LineWidth', 1.5,'Color','b');

    title(sprintf('Campo Vectorial de Ekman en z/d_E = %.2f', -z / delta));

    xlim([-1.2 1.2]);
    ylim([-1.2 1.2]);
    zlim([-z_max 0])
    % Pausa para actualizar la animación
    pause(0.1);
    %Reinicio grafica
    cla
    plot3(u_m,v_m,-z_vals,'Color','r')
    xlabel('Oeste - Este (m)');
    ylabel('Norte - Sur (m)');
    grid on
    view([0 90])
end
hold off

6 Cáculo de la Divergencia del campo velocidad horizontal

Recordemos la definición de divergencia [math] \nabla\cdot \vec{v}(x,y,z)=\frac{\partial {u}}{\partial x}+\frac{\partial {v}}{\partial y}+\frac{\partial {w}}{\partial z} [/math]. Calculando, se determina que la divergencia de \( \vec{v}\) es:

7 Cálculo del rotacional de V

El rotacional de la espiral de Ekman, describe el giro del flujo dentro de la capa de Ekman, debido a la combinación de la fricción y la fuerza de Coriolis. El rotacional mide la circulación del flujo por unidad de área, es importante para entender cómo el transporte dentro de la capa de Ekman influye en procesos más grandes, como la formación de vórtices o las corrientes oceánicas. En la espiral de Ekman, el flujo horizontal tiene componentes en las direcciones x e y.

[math]\overrightarrow { U} = u(z) \overrightarrow { i } + v(z) \overrightarrow { j }[/math],

El transporte neto de masa en la capa de Ekman, se orienta perpendicularmente al viento en la superficie, debido al equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción.

El rotacional de un campo de velocidad en tres dimensiones es:

En el caso de la espiral de Ekman, donde asumimos un flujo horizontal [math](\vec u_z = 0)[/math] y homogéneo en las direcciones horizontales. Esto significa que:

1. La variación del componente [math] v [/math] con la profundidad genera una rotación en la dirección x.

2. La variación del componente [math] u [/math] con la profundidad genera una rotación en la dirección y.

El rotacional global será tridimensional, pero su componente dominante estará vinculado al gradiente de velocidad en la profundidad.

A continuación, se adjunta un programa de Matlab que representa el rotacional en varios planos paralelos, desde la superficie del mar hasta la profundidad de Ekman:

8 Lauro