Revisión del 16:53 2 dic 2025

1 Dibujo de la curva

1.1 Descripción de la curva

Representación de la catenaria

La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
[math]γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))[/math], con [math] a = 3[/math].
La curva es simétrica respecto al eje [math]x = 0[/math]. debido a que [math]cosh(t)[/math] es par.
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola.
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que [math]cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})[/math]

1.2 Código y representación de la curva

Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:

clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;

2 Vectores aceleración y velocidad

2.1 Cálculo de los vectores

2.2 Código y representación de los vectores

3 Longitud de la curva

3.1 Cálculo de la longitud

3.2 Código y representación de la longitud

4 Vectores tangente y normal

4.1 Cálculo de vectores

Sea [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:

- Su vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} [/math]. En este caso: [math] \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]
- Su vector normal [math] \vec{n}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) [/math], donde [math] \vec{b}(t) [/math] es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), [math]\vec{b}(t)=\vec{k}[/math]. De esta forma:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0 \end{vmatrix} \end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]

4.2 Interpretación de los vectores

5 Curvatura

6 Información sobre la catenaria

7 Ejemplos en ingeniería civil

8 Semejanzas catenaria y parábola

9 Superficie de revolución

10 Distribución de la densidad