Diferencia entre revisiones de «La Catenaria (Grupo 7)»
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=Vectores tangente y normal= | =Vectores tangente y normal= | ||
==Cálculo de vectores== | ==Cálculo de vectores== | ||
| + | Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: <br/><br/> | ||
| + | - Su '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a:<br/> | ||
| + | '''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''<br/> | ||
| + | - Su '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a:<br/> | ||
| + | '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: <br/> | ||
| + | '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= | ||
| + | \begin{equation} | ||
| + | \begin{vmatrix} | ||
| + | \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ | ||
| + | 0 & 0 & 1\\ | ||
| + | sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0 | ||
| + | \end{vmatrix} | ||
| + | \end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' | ||
=Curvatura= | =Curvatura= | ||
Revisión del 16:52 2 dic 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La Catenaria (Grupo 7) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Dibujo de la curva
1.1 Descripción de la curva
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
[math]γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))[/math], con [math] a = 3[/math].
La curva es simétrica respecto al eje [math]x = 0[/math]. debido a que [math]cosh(t)[/math] es par.
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola.
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que [math]cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})[/math]
1.2 Código y representación de la curva
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
2 Vectores aceleración y velocidad
2.1 Cálculo de los vectores
2.2 Código y representación de los vectores
3 Longitud de la curva
3.1 Cálculo de la longitud
3.2 Código y representación de la longitud
4 Vectores tangente y normal
4.1 Cálculo de vectores
Sea [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:
- Su vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} [/math]. En este caso: [math] \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]
- Su vector normal [math] \vec{n}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) [/math], donde [math] \vec{b}(t) [/math] es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), [math]\vec{b}(t)=\vec{k}[/math]. De esta forma:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]
