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| Línea 36: |
Línea 36: |
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| | =Curvatura= | | =Curvatura= |
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| − | === 6.1 Interpretación geométrica ===
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| − | La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con la curva:
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| − | * el mismo punto,
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| − | * la misma dirección del vector tangente,
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| − | * y la misma curvatura.
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| − | Por tanto, cerca de ese punto podemos aproximar la catenaria mediante un arco de circunferencia, lo que permite simplificar ciertos cálculos geométricos o de esfuerzos en problemas de ingeniería.
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| − | En nuestro caso trabajamos con la catenaria
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| − | [math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]
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| − | El punto de interés es
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| − | [math]P = \gamma(-0.5).[/math]
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| − | === 6.2 Curvatura y radio de curvatura en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] ===
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| − | Primero calculamos las derivadas de la catenaria:
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| − | [math]x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh(t/3),[/math]
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| − | [math]x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh(t/3).[/math]
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| − | La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t) = (x(t),y(t))[/math] viene dada por
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| − | [math]\kappa(t) = \dfrac{|x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)|}{\big(x'(t)^2 + y'(t)^2\big)^{3/2}}.[/math]
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| − | En nuestro caso resulta
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| − | [math]\kappa(t) = \dfrac{\frac{1}{3}\cosh(t/3)}{\big(1+\sinh^2(t/3)\big)^{3/2}}
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| − | = \dfrac{1}{3}\operatorname{sech}^2\left(\dfrac{t}{3}\right),[/math]
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| − | donde [math]\operatorname{sech}(u)=1/\cosh(u).[/math]
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| − | El radio de curvatura es
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| − | [math]R(t) = \dfrac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\dfrac{t}{3}\right).[/math]
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| − | En el punto [math]t_0=-0.5[/math] obtenemos
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| − | [math]R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\dfrac{-0.5}{3}\right)
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| − | = 3\cosh^2\left(\dfrac{1}{6}\right)\approx 3.08.[/math]
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| − | === 6.3 Centro de la circunferencia osculatriz ===
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| − | El punto de la catenaria que nos interesa es
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| − | [math]P = \gamma(-0.5) = \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big)
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| − | = \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)\approx(-0.50,\;3.04).[/math]
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| − | El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:
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| − | [math]T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}
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| − | = \left(\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right)\right).[/math]
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| − |
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| − | Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) es
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| − | [math]N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big)
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| − | = \left(-\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right)\right).[/math]
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| − |
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| − | El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto P en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:
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| − | [math]Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).[/math]
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| − | En [math]t_0=-0.5[/math] resulta
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| − | [math]Q = P + R\,N(t_0) \approx (0.009,\;6.08).[/math]
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| − | Por tanto, la circunferencia osculatriz en el punto [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]
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| − | === 6.4 Representación gráfica y código ===
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| − | A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
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| − | <syntaxhighlight lang="matlab">
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| − | A = 3;
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| − | % Malla de puntos de la catenaria
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| − | t = linspace(-1, 1, 400);
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| − | x = t;
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| − | y = A*cosh(t/A);
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| − | % Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
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| − | t0 = -0.5;
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| − | x0 = t0;
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| − | y0 = A*cosh(t0/A);
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| − | % Curvatura y radio de curvatura en t0
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| − | kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2);
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| − | R = 1 / kappa0;
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| − | % Vector tangente unitario en t0
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| − | Tx = 1./cosh(t0/A);
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| − | Ty = tanh(t0/A);
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| − | % Vector normal unitario (perpendicular a T)
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| − | Nx = -Ty;
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| − | Ny = Tx;
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| − | % Centro de la circunferencia osculatriz
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| − | Cx = x0 + R * Nx;
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| − | Cy = y0 + R * Ny;
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| − | % Puntos de la circunferencia osculatriz
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| − | theta = linspace(0, 2*pi, 400);
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| − | xc = Cx + R*cos(theta);
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| − | yc = Cy + R*sin(theta);
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| − | % Gráfica
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| − | figure;
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| − | plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
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| − | plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
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| − | plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
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| − | axis equal;
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| − | grid on;
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| − | xlabel('x');
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| − | ylabel('y');
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| − | legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
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| − | 'Location', 'best');
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| − | title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
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| − | </syntaxhighlight>
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| | =Información sobre la catenaria= | | =Información sobre la catenaria= |
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
