Diferencia entre revisiones de «Sistema de masas y muelles»

Revisión del 18:50 2 mar 2014

Sistemas de muelles y masas. Estos sistemas son bastante útiles a la hora de estudiar vibraciones, consiguiendo traducirlo a un lenguaje matemático que sea fácil de estudiar e interpretar.

1 Introducción

En este artículo vamos a estudiar un sistema de 3 masas y 4 muelles en disposición horizontal, entre dos paredes rígidas. Empezaremos estudiándolo primero desde la posición de equilibrio en el caso de no haber rozamiento ni amortiguamiento, por lo que solo actúan las fuerzas restauradoras de los muelles. Tomamos como variables las posiciones de cada masa (x,y,z) en función del tiempo. A partir de ellas escribimos las ecuaciones diferenciales correspondientes a una interpretación según la mecánica de Newton.

Sistema formado por 3 masas y 4 muelles,anclado a las paredes laterales

[math]\left\{\begin{matrix}m_{1}\ddot x=-k_{1}x+k_{2}(y-x)\\m_{2}\ddot y=-k_{2}(y-x)+k_{3}(z-y)\\m_{3}\ddot z=-k_{3}(z-y)-k_{4}(z)\end{matrix}\right.[/math]

2 Condiciones iniciales y caso particular

Suponemos que en el instante t=0 las tres masas están desplazadas 0.5, 1 y 0.8 metros hacia la derecha de la posici ́on de equilibrio y se sueltan repentinamente, sin velocidad. Vamos a suponer que k1=4N/m, k2=2N/m, k3=1N/m, k4=3N/m, m1=2kg, m2=1kg, m3=3kg, que la distancia entre las paredes es de 12 metros y que en equilibrio las tres masas están en las posiciones 2.5, 4 y 8.Resolveremos el problema numéricamente utilizando los métodos de Euler modificado y Runge Kutta con pasos de h=0.1m y h=0.025m.

Sustituyendo ahora los valores dados arriba en las ecuaciones obtenemos las siguientes, con las cuales operaremos:

2.1 Método de Euler Modificado

2.2 Método de Runge-Kutta

Para aplicar el método reduciremos el sistema a uno de primer orden ayudándonos de las siguientes ecuaciones.

[math]\dot x=u\\\dot y=v\\\dot z=w[/math]

Y lo juntamos con el ya existente para obtener:

[math]\left\{\begin{matrix}m_{1}\ddot x=-k_{1}x+k_{2}(y-x)\\m_{2}\ddot y=-k_{2}(y-x)+k_{3}(z-y)\\m_{3}\ddot z=-k_{3}(z-y)-k_{4}(z)\\\dot x=u\\\dot y=v\\\dot z=w\end{matrix}\right.[/math]

El código de Matlab es:

% Sistema de 3 masas y 4 muelles
clear all
% Intervalo de tiempo
t0=0;
tN=10;
% Datos
k1=4;
k2=2;
k3=1;
k4=3;
m1=2;
m2=1;
m3=3;
%Condiciones iniciales
x0=0.5;
y0=1;
z0=0.8;
u0=0;
v0=0;
w0=0
 
N=100; % Pasos
h=(tN-t0)/N; % Intervalo
 
 
% Primeros valores
xx(1)=x0;
yy(1)=y0;
zz(1)=z0;
uu(1)=u0;
vv(1)=v0;
ww(1)=w0;
 
% Metodo de Runge-Kutta
 
 
 
for n=1:N
    % Primera K
    k1x=uu(n);
    k1y=vv(n);
    k1z=ww(n);
    k1u=-(k2+k1)/m1*xx(n)+k2/m1*yy(n);
    k1v=k2/m2*xx(n)-((k2+k3)/m2)*yy(n)+(k3/m2)*zz(n);
    k1w=k3/m3*yy(n)-((k4+k3)/m3)*zz(n);
 
    % Segunda K
    k2x=uu(n)+1/2*h*k1u;
    k2y=vv(n)+1/2*h*k1v;
    k2z=ww(n)+1/2*h*k1w;
    k2u=-(k2+k1)/m1*(xx(n)+1/2*h*k1x)+k2/m1*(yy(n)+1/2*k1y*h);
    k2v=k2/m2*(xx(n)+1/2*h*k1x)-((k2+k3)/m2)*(yy(n)+1/2*k1y*h)+(k3/m2)*(zz(n)+1/2*k1z*h);
    k2w=k3/m3*(yy(n)+1/2*k1y*h)-((k4+k3)/m3)*(zz(n)+1/2*k1z*h);
    
 
    % Tercera K
    k3x=uu(n)+1/2*h*k2u;
    k3y=vv(n)+1/2*h*k2v;
    k3z=ww(n)+1/2*h*k2w;
    k3u=-(k2+k1)/m1*(xx(n)+1/2*h*k2x)+k2/m1*(yy(n)+1/2*k2y*h);
    k3v=k2/m2*(xx(n)+1/2*h*k2x)-((k2+k3)/m2)*(yy(n)+1/2*k2y*h)+(k3/m2)*(zz(n)+1/2*k2z*h);
    k3w=k3/m3*(yy(n)+1/2*k2y*h)-((k4+k3)/m3)*(zz(n)+1/2*k2z*h);
 
    % Cuarta K
    k4x=uu(n)+h*k3u;
    k4y=vv(n)+h*k3v;
    k4z=ww(n)+h*k3w;
    k4u=-(k2+k1)/m1*(xx(n)+h*k3x)+k2/m1*(yy(n)+k3y*h);
    k4v=k2/m2*(xx(n)+h*k3x)-((k2+k3)/m2)*(yy(n)+k3y*h)+(k3/m2)*(zz(n)+k3z*h);
    k4w=k3/m3*(yy(n)+h*k3y)-((k4+k3)/m3)*(zz(n)+k3z*h);
 
 
    xx(n+1)=xx(n)+(h/6)*(k1x+2*k2x+2*k3x+k4x);
    yy(n+1)=yy(n)+(h/6)*(k1y+2*k2y+2*k3y+k4y);
    zz(n+1)=zz(n)+(h/6)*(k1z+2*k2z+2*k3z+k4z);
    uu(n+1)=uu(n)+(h/6)*(k1u+2*k2u+2*k3u+k4u);
    vv(n+1)=vv(n)+(h/6)*(k1v+2*k2v+2*k3v+k4v);
    ww(n+1)=ww(n)+(h/6)*(k1w+2*k2w+2*k3w+k4w);
end
 
t=t0:h:tN;
axis([0,12,0,10])
hold on
title('Runge-Kutta')
plot(xx+2.5,t,'-')
plot(yy+4,t,'-r')
plot(zz+6,t,'-k')
plot(2.5,t,'-g')
plot(4,t,'-g')
plot(6,t,'-g')
legend('Masa m1','Masa m2','Masa m3','Posicion de equilibrio')
hold off

Posición de cada masa respecto de la posición de equilibrio en intervalo (0,10)

3 Otras condiciones iniciales

Ahora vamos a imponer unas nuevas CI.

3.1 Método del trapecio

3.2 Método de Euler Modificado

4 Estudio de un sistema en medio viscoso y con fuerza exterior