Diferencia entre revisiones de «Mallado 2D de Arco I (Grupo 63)»
(→Mallado de la placa) |
(→Masa de la placa) |
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<math> Masa = \int_{u}^{u}\int_{v}^{v}f(\vec r(u,v)) |(\vec r´_{u})\times(\vec r´_{v})|dudv </math> | <math> Masa = \int_{u}^{u}\int_{v}^{v}f(\vec r(u,v)) |(\vec r´_{u})\times(\vec r´_{v})|dudv </math> | ||
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| + | \iint_{v=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{u=1}^{2} (1 + e^{u^2 \cdot \cos v}) \, u \, du \, dv | ||
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| + | \iint_{v=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{u=1}^{2} u \, du \, dv | ||
| + | + | ||
| + | \iint_{v=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{u=1}^{2} u e^{u^2 \cdot \cos v} \, du \, dv | ||
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De manera que la masa del material es: | De manera que la masa del material es: | ||
Revisión del 15:28 29 nov 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Mallado 2D de Arco I. Grupo 63 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | María Cocina Sanjuanbenito, Fernando Trocoli de Toro, Rodrigo Sánchez de León Acevedo,
Marta Reiter Hernández |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
Se considera una placa plana bidimensional en forma de sección longitudinal de un arco, comprendido entre los radios 1 y 2. En ella vamos a tener definidas dos cantidades físicas: la temperatura 𝑇(𝑥,𝑦) en coordenadas cartesianas, y el campo de desplazamientos 𝑢(𝜌, 𝜃) en coordenadas cilíndricas.
Definimos la función temperatura como: 𝑇(𝑥,𝑦) = (𝑥 − 𝑦)^2.
Y el campo de desplazamientos como: 𝑢(𝜌, 𝜃) = 1/5 (𝜌 − 1)𝜌^2 sin𝜃⃗𝑒𝜃
2 Mallado de la placa
Para definir el mallado de la mitad de un anillo circular usaremos dos condiciones: que esté comprendido entre los radios R1=1 y R2=2, y el plano y ≥ |x|. Al estudiar la mitad de un anillo, trabajaremos en coordenadas cilíndricas.
Su representación quedará definida en la región (ρ,θ) ∈ [1,2] × [[math] \frac{\pi}{2},\frac{3π}{2}[/math]].
Para el muestreo, que son las subdivisiones deseadas por unidad en función de ambos ejes, usaremos \(h = 1/10\).
h=0.1;
r=1:h:2;
t=pi/2:h:3*pi/2; %CAMBIO: De 90 a 270 grados
[RR,TT]=meshgrid(r,t);
x=RR.*cos(TT); y=RR.*sin(TT);
%Representacion
mesh(x,y,0*x); view(2); axis equal; axis([-3,1,-3,3]); %Ejes ajustados a la izquierda
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y'); title('Mallado solido');
%Bordes (Adaptados al nuevo rango)
hold on
plot(2*cos(t),2*sin(t),'k',1*cos(t),1*sin(t),'k',[0 0],[1 2],'k',[0 0],[-2 -1],'k','LineWidth',2);
hold off
=Curvas de nivel de la temperatura (isotermas)=
La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen.
La distribución de la temperatura en el sólido para dibujar sus curvas de nivel, viene dado por la función:
<center>[math]T(x,y)=(x-y)^2 [/math] </center>
<br />
UNIQ--syntaxhighlightinner-00000005-QINU
A partir del campo escalar, podemos calcular el gradiente de la temperatura [math]\nabla T[/math]. Que indica la dirección en la que aumenta nuestra temperatura.\int_{u=1}^{2} (1 + e^{u^2 \cdot \cos v}) \, u \, du \, dv
= \iint_{v=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{u=1}^{2} u \, du \, dv + \iint_{v=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{u=1}^{2} u e^{u^2 \cdot \cos v} \, du \, dv \]
De manera que la masa del material es:
3 Interpretación con ejemplo práctico
En este trabajo se ha estudiado la respuesta elástica de una sección longitudinal de un arco comprendido entre los radios 1 y 2, que ha estado sometido a un campo de desplazamientos [math] \vec u = \frac{1}{5}\vec (ρ-1)ρ^2 sen(θ)\vec e_θ [/math] y se ha analizado la distribución de la temperatura [math]T(x,y)=(x-y)^2 [/math].
Por otro lado, si interpretamos el trabajo desde un enfoque práctico, observamos que existe una aplicación real. Suponemos que el dominio es una parte de la corteza terrestre y que el desplazamiento es provocado por las ondas S en terremotos. Esto quiere decir, que se interpreta el campo de deslizamientos como una onda sísmica de tipo S, que se propaga en una parte de la corteza terrestre representada por el arco de radios 1 y 2.
Las ondas S producen desplazamientos tangenciales, dando lugar a deformaciones de cizalla. Esto coincide con el comportamiento del campo de deslizamientos, que desplaza cada punto únicamente en su dirección tangencial, moviendo el material sin cambiar su volumen de manera uniforme. El desplazamiento está dirigido según 𝑒𝜃, luego describe un movimiento tangencial (de tipo cizalla) alrededor del origen. El factor (𝜌 − 1) anula el desplazamiento en la frontera interior (𝜌 = 1, por lo que la deformación es nula en el borde interno y aumenta hacia el exterior. La dependencia sin𝜃 introduce una variación angular: los desplazamientos son nulos en 𝜃=0,𝜋 y máximos en 𝜃=𝜋/2,3𝜋/2.
La divergencia calculada muestra las zonas de la corteza terrestre donde el terreno se expande o comprime. En este caso, las ondas S no generan grandes cambios volumétricos, pues el modelo presenta pequeñas variaciones que pueden interpretarse como ajustes locales del terreno al propagarse la perturbación.
El rotacional representa las zonas donde el material experimenta giro debido al paso de la onda. Esta información permite ver en qué direcciones el terreno tiende a girar durante las vibraciones de estas ondas sísmicas.
Las tensiones normales y tangenciales obtenidas se pueden interpretar como las fuerzas internas que se desarrollan por debajo del terreno como respuesta al desplazamiento. Estas tensiones suelen ser las causantes de la formación de grietas o incluso fallas, cuando superan la resistencia del material. Las tensiones más elevadas se encuentran en la parte más alejada del dominio, donde los desplazamientos son mayores.
Finalmente, se puede observar que el modelo trabajado puede interpretarse como una versión simplificada del comportamiento de la corteza terrestre durante el paso de una onda sísmica de tipo S. Dentro de que está idealizado, nos permite entender cómo se distribuyen los desplazamientos, las tensiones y deformaciones en el terreno ante las vibraciones sísmicas.
