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| | [[Categoría:Teoría de Campos]] | | [[Categoría:Teoría de Campos]] |
| | [[Categoría:TC25/26]] | | [[Categoría:TC25/26]] |
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| − | == Introducción ==
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| − | Se considera la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, donde Res un número positivo fijado: <br />
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| − | <math> γ(t) = (x(t), y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)) = (3(t-sint),3(1-cost))</math>, <math> t ∈ (0,2π)</math>
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| − | <br />
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| − | == Representación de la curva ==
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| − | [[Archivo:Cicloide1.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del cicloide]]
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | % Datos
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| − | R=3;
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| − | t=linspace(0,2*pi,100); %dominio
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| − | % Ecuaciones parametricas
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| − | X=R*(t-sin(t));
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| − | Y=R*(1-cos(t));
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| − | %Dibujo
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| − | figure;
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| − | plot(X,Y,'red','LineWidth',1);
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| − | axis equal;
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| − | grid on;
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| − | title('La Cicloide');
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| − | xlabel('x(t)');
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| − | ylabel('y(t)');
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| − | }}
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| − | ==Vector velocidad y aceleración==
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| − | === Cálculo de los vectores velocidad y aceleración ===
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| − | Vector velocidad:<br />
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| − | <math> γ'(t)= (x’(t)\vec i + y’ (t)\vec j) = (3 (1-cos t )\vec i + 3 (sin t)\vec j) </math> <br />
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| − | Vector aceleración: <br />
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| − | <math> γ''(t)= (x’’(t)\vec i + y’’ (t)\vec j) = (3 (sint )\vec i + 3 (cos t)\vec j) </math> <br />
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| − | === Representación de los vectores velocidad y aceleración ===
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| − | Representación de la velocidad en MATLAB:<br />
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| − | [[Archivo:Cicloidevelocidad.jpeg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 2. Representación de la velocidad]]
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | R=3;
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| − | t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
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| − | X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
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| − | Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
| |
| − | vx=R*(1-cos(t)); % Vectores de la velocidad
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| − | vy=R*(sin(t)); %Vectores de la velocidad
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| − | % Dibujo
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| − | figure;
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| − | hold on
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| − | plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
| |
| − | axis equal;
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| − | grid on;
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| − | title('La Cicloide');
| |
| − | xlabel('x(t)');
| |
| − | ylabel('y(t)');
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| − | % Dibujo vectores velocidad
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| − | for i=1:3:100
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| − | quiver(X(i),Y(i),vx(i),vy(i),1,'color','green','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
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| − | end
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| − | axis([-1,max(X)+2,-2,max(Y)+2])
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| − | legend('Cicloide','Vectores de velocidad','location','best');
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| − | hold off
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| − | }}
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| − | <br />
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| − | Representación de la aceleración en MATLAB:<br />
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| − | [[Archivo:Cicloideaceleracion2.jpeg|miniaturadeimagen|derecha|600px|Figura 3. Representación de la aceleración]]
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| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | R=3;
| |
| − | t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
| |
| − | X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
| |
| − | Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
| |
| − | ax=R*(sin(t)); % Vectores aceleración
| |
| − | ay=R*(cos(t)); % Vectores aceleración
| |
| − |
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| − | % Dibujo
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| − | figure;
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| − | hold on
| |
| − | plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
| |
| − | axis equal;
| |
| − | grid on;
| |
| − | title('La Cicloide');
| |
| − | xlabel('x(t)');
| |
| − | ylabel('y(t)');
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| − | % Dibujo vector aceleración
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| − | for j=1:3:100
| |
| − | quiver(X(j),Y(j),ax(j),ay(j),1,'color','m','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
| |
| − | end
| |
| − | axis([-1,max(X)+2,-2,8])
| |
| − | legend('Cicloide','Vectores de aceleración','location','best');
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| − | hold off
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| − | }}
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| − | ==Longitud de la curva==
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| − | ===Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica===
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| − | Longitud de la curva: <br />
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| − | <math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(3-3cost)^2 +(3sent)^2}dt </math> <br />
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| − | ===Cálculo de la longitud de la curva con el 'Método del rectángulo' en MATLAB===
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| − | <br />
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| − | == Vector tangente y normal de la curva ==
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| − | ===Cálculo de la tangente===
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| − | Módulo de la velocidad: <br />
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| − | <math> |γ′(t)|= \sqrt{9((1- cost)^2+sen^2t)} </math> <br />
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| − | Vector tangente: <br />
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| − | <math> \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{3((1-cost)\vec i + (sint)\vec j)}{3(\sqrt{2-2cost})} = \frac{(1-cost)\vec i + (sint)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}</math> <br />
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| − | ===Cálculo de la normal===
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| − | Producto vectorial <math>\vec v × \vec a </math> :<br />
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| − | <math>\vec v × \vec a=\begin{bmatrix}
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| − | \vec i& \vec j& \vec k\\
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| − | 1-cost& sent &0\\
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| − | sent & cost & 0
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| − | \end{bmatrix} = 9(cost-cos^2t-sen^2t)=9(cost-1)= -9(1-cost)\vec k </math> <br />
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| − | Módulo de <math>\vec v × \vec a </math> :<br />
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| − | <math> |\vec v × \vec a|= \sqrt{9^2 (cost-1)^2}= 9\sqrt{cos^2t-2cost+1}= 9(1-cost) </math> <br />
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| − | Vector binormal:<br />
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| − | <math>\vec b= \frac{\vec v × \vec a}{|\vec v × \vec a|}= \frac{-9(1-cost)}{ 9(1-cost)}=-1=-\vec k </math> <br />
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| − | Vector normal: <br />
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| − | <math> \vec n(t) = \vec b× \vec t=\frac{1}{\sqrt{2+2cost}}\begin{bmatrix}
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| − | \vec i& \vec j& \vec k\\
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| − | 0& 0 &-1\\
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| − | 1-cost& sent & 0
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| − | \end{bmatrix} = \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}
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| − | </math> <br />
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| − | == Curvatura==
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| − | <math> \kappa\ (t)=\frac{|\vec v × \vec a|}{|\vec v|^3}=\frac{9(1-cost)}{(3 \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{3(1-cost)}{3( \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{1-cost}{6\sqrt2(1-cost)\sqrt{1-cost}}= \frac{1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} </math> <br />
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| − | ==La Cicloide en la ingeniería civil==
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| − | ===Museo del Arte Kimbell===
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| − | Uno de los ejemplos más famosos del uso de la cicloide en al arquitectura moderna. El arquitecto Louis Kahn y el ingeniero civil August Komendant, diseñaron el techo del museo compuesto de una serie de bóvedas de cañón, las cuales eran cicloides.<br />
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| − | [[Archivo:Cicloidemuseo.jpg|600px|Figura 1. Museo]]
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| − | <br />
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| − | ===Cycloïd Piazza===
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| − | Una instalación creada por Raphaël Zarka, fue inagurada en 2024 en la plaza del Centre Pompidou de París. La estructura es una escultura formada por superficies curvas basadas en la cicloide.
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| − | [[Archivo:Ejempl1.png|400px|Figura 2. Pista de skate]]
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| − | ===Hopkins Center for the Arts===
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| − | [[Archivo:Hopkings.jpg|600px|Figura 2. Pista de skate]]
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| − | == Bibliografía ==
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| − | https://arquitecturaviva.com/works/museo-de-arte-kimbell-fort-worth#lg=1&slide=0
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