Revisión del 21:06 27 nov 2025

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción Este trabajo estudiará las coordenadas cilíndricas parabólicas, es un sistema muy utilizado para describir aquellas situaciones en las que se forman parábolas y simetrías parabólicas. Gracias a este sistema de coordenadas somos capaces de abordar de manera más sencilla distintos problemas geométricos y/o físicos, sobre todo aquellos que estén ligados a campos vectoriales y superficies con una estructura de forma parabólica. Durante este trabajo se explorará cómo funcionan las coordenadas y la relación que tiene con otros sistemas como el cartesiano. Se estudiará la utilidad del gradiente, la divergencia y el rotacional, además de otras herramientas del cálculo vectorial como las superficies de nivel y su relevancia en la ingeniería.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Conocidas las relaciones entre la coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\), las líneas coordenadas son:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = tv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\ x_2 = ut \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = t \end{cases} [/math]
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

1.2 MATLAB: Códigos y gráficas

A continuación se han creado 3 gráficas con la ayuda de MATLAB representando las curvas coordenadas estudiadas de distintas formas: 1. Representación en 2D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un solo valor. 2. Representación en 3D de las líneas coordenadas asociadas a u y v fijando un rango de valores para u y v, y dejando w fija.

1.2.1 Código líneas coordenadas en 2D fijando un solo valor

Lineas coordenadas en 2D

%Líneas coordenadas asociadas a u y v en 2D 

clear;clc 
figure; 
hold on; 

%Vectores 
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u 
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v 

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u)  
v_fixed = 1; 
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; 
x2_u = u .* v_fixed; 
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 2); 

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v)  
u_fixed = 1; 
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; 
x2_v = (u_fixed) .* v; 
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 2); 

%Edición de la gráfica 
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v'); 
xlabel('Eje X'); 
ylabel('Eje Y'); 
legend({'línea γ_u', 'línea γ_v'}); 
grid on;

1.2.2 Código líneas coordenadas en 3D fijando un rango de valores

Lineas coordenadas en 3D

% Rango de variables 
u = linspace(0, 2, 10); 
v = linspace(0, 2, 10); 

% Creación de mallas  
[U, V] = meshgrid(u, v); 

% Ajuste del origen común 
u_const = 0;  
v_const = 0;  

% Línea coordenada de u (ajustada al origen común) 
x1_f1 = (u.^2 - V.^2) / 2; % u libre, v fijo 
x2_f1 = u .* V; 
x3_f1 = ones(size(x1_f1))*3; % En el plano z = 3 

% Línea coordenada de v (ajustada al origen común) 
x1_f2 = (U.^2 - v.^2) / 2; % v libre, u fijo 
x2_f2 = U .* v; 
x3_f2 = ones(size(x1_f2))*3; % En el plano z = 3 

% Crear una figura combinada 
figure; 

% Superficie de línea coordenada de u 
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)),'FaceColor','m', 'FaceAlpha', 0.2); 
hold on; 

% Superficie de línea coordenada de v 
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)),'FaceColor','m','FaceAlpha', 0.2); 

% figura combinada 
xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z'); 
title('Líneas coordenadas asociadas a u y v'); 
axis equal; 
grid on; 
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v'); 
hold off;

2 CÁLCULOS TEÓRICOS DE LAS LÍNEAS COORDENADAS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas

Para el cálculo de los campos de velocidad de las líneas coordenadas de 𝛾 ′𝑢 , 𝛾 ′𝑣 , 𝛾 ′z se derivan las coordenadas (vectores posición), obteniendo así los vectores tangentes a ellas (vectores velocidad):

1. Derivada respecto a \(u\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \\ \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \\ \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_u = u \vec{i} + v \vec{j} = g \vec{u}\\. \end{aligned} [/math]

2. Derivada respecto a \(v\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = -v \vec{i} + u \vec{j} = g \vec{v}\\. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k} = g \vec{z}\\. \end{aligned} [/math]

2.2 Factores de Escala

A continuación, se calculan los factores de escala a partir del cálculo de los módulos de los vectores de velocidad [math] g _\vec{u}, g _\vec{v}, g _\vec{z} [/math]

[math]h_u = |\vec{g_u}| = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

[math]h_v = |\vec{g_v}| = \sqrt{-v^2 + u^2} = \sqrt{u^2 + v^2}[/math]

[math]h_z = |\vec{g_z}| = 1 [/math]

2.3 Vectores Tangentes

Los vectores tangentes unitarios [math] e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} [/math] corresponden a los vectores de velocidad normalizados, para lo que se dividen entre sus respectivos módulos (factores de escala).

[math] e _\vec{u}= \frac {g _\vec{u}}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(u \vec{i} +v \vec{j}) [/math]

[math] e _\vec{v}= \frac {g _\vec{v}}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 +v^2}}(-v \vec{i} +u \vec{j}) [/math]

[math] e _\vec{z}= \frac {g _\vec{z}}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right) = \vec{k}[/math]

Se comprueba que [math] e _\vec{u}, e _\vec{v}, e _\vec{z} [/math] forman una base ortonormal a partir del cálculo de los productos escalares de dichos vectores::

\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( -v, u, 0 \right)=0[/math]

\(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( u, v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

\(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Como se cumple que [math] e _\vec{u}·e _\vec{v} = 0; e _\vec{z}·e _\vec{v} = 0[/math]; [math] e _\vec{u}·e _\vec{z} = 0[/math] y que [math] |\vec{e}_u| = |\vec{e}_v| = |\vec{e}_z| = 1[/math] se puede confirmar por tanto que se trata de una base ortonormal.

Por último, se comprueba que la base ortonormal obtenida está orientada positivamente a partir del cálculo del producto vectorial \(\vec{e}_u\ × \vec{e}_v\) [math] = \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{v^2 + u^2}} & \frac{u}{\sqrt{v^2 + u^2}} & 0 \end{bmatrix} = \vec{k} = \vec{e}_z [/math]

Dado que el producto vectorial de dos de ellos apunta en la misma dirección del tercer vector, se concluye que la orientación es positiva.
Otra alternativa para comprobar que está orientada positivamente es construir la matriz Q con los vectores de la base física ya obtenida y calcular su determinante, el cual debe ser mayor que 0.

2.4 Representación Gráfica

Para la representación gráfica de los vectores [math] e _\vec{u} [/math] y [math] e _\vec{v} [/math] y de sus respectivas líneas coordenadas, se escoge un punto del plano (1,1) donde fijar el valor de u y posteriormente de v para obtener así las líneas coordenadas. Los vectores [math] e _\vec{u} [/math] y [math] e _\vec{v} [/math] son tangentes a sus correspondiente lineas coordenadas en cada uno de sus puntos y llevan el sentido creciente del parámetro.

Representación gráfica

%Líneas coordenadas de u y v y vectores de la base física
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(-10, 10, 200); % Valores de u
v=linspace(-10, 10, 200); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);


%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;


%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en el punto (1,1)
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'m','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Base Física y sus Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

grid on;
axis equal;
hold off;

3 Matrices de cambio de base

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas. La matriz \( C\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

[math] C = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] C = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

La matriz inversa \( C^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( C\) es igual a su traspuesta, por lo que:

[math] C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

4 Campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema tridimensional basado en la rotación alrededor de su eje de simetría de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales. Éstas se denotan como \((u,v,z)\) Para expresar el campo de posición de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico es necesaria la utilización de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) (calculada anteriormente en el apartado 3) y el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) expresado en cilíndricas.

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix} [/math]

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix} [/math]

Para la transformación del vector posición se multiplica la matriz de cambio de base por el vector \( \vec{r} \) :

[math] \vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}= [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}[/math]

Expresando el campo de forma vectorial se obtiene: [math]\vec{r}\;cilíndricas\;parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\[/math]

5 5.

En este apartado se explicara como calcular el gradiente de un campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) usando el sistema de coordenadas cilidrico-parabolicas. Para realizar el cambio se debe expresar el campo es las nuevas coordenas \( (u, v, z) \), a continuacion se debe transformar ese punto al nuevo sistema y se aplicara la formula del gradiente utilizando los factores de escala que se explicaran a continuacion. Por ultimo se podra estudiar el resultado en la base \(\{\vec e_u,\, \vec e_v,\, \vec e_z\}\).

5.1 cambio de coordenadas La relación entre las coordenadas cilíndricas y parabólicas es la siguiente:

[math] \left\{ \begin{aligned} x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2},\\ x_2 &= u\,v,\\ x_3 &= z. \end{aligned} \right. [/math]

El campo escalar estudiado en cartesianas es:

[math] f(x_1, x_2, x_3) = x_2 [/math]

Por ello, para pasar al sistema cilíndrico-parabólico es suficiente con sustituir \(x_2 = u v\), por lo que queda el campo siguiente:

[math] f(u,v,z) = u\,v [/math]

Finalmente, pasamos el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0,1,1)\) a coordenadas \((u,v,z)\), obteniendo:

[math] (u, v, z) = (1, 1, 1) [/math].

5.2 Calculo del gradiente

en una base ortogonal \( (u, v, z) \) La formula del gradiente es la siguiente:

[math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z [/math]

El gradiente se calcula con las derivadas parciales del campo respecto a cada una de las variables.

Y las derivadas parciales para este punto son:

[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math].

Entonces, el grandiente en el sistema cilindrico-parabolico es:

[math] \nabla f(u,v,z) = v\,\vec e_u + u\,\vec e_v + 0\,\vec e_z [/math]

Sustituyendo el punto en las nuevas coordenadas \((u, v, z) = (1, 1, 1)\), obtenemos el gradiente en ese punto en la base buscada:

[math] \nabla f(1,1,1) = \vec e_u + \vec e_v [/math]

6 6.

7 Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico

El rotacional de un campo vectorial es un operador que mide la tendencia de dicho campo a rotal en un punto. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.

En coordenadas cilíndrico-parabólicas el rotacional se define de la siguiente forma: [math] \nabla×\vec F =\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math]

Conocidos los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Al sustituir los factores de escala queda la siguiente expresión:

[math]\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}·\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| [/math]

Rotacional del campo posición \(\vec{r}\)

Sustituyendo en la expresión anterior las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Operando queda la siguiente expresión:

[math] \nabla×\vec F=\frac{1}{u^2+v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right | [/math]

Calculando las componentes por separado queda el siguiente resultado:

[math] \vec{e_u} = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_v} = \sqrt {u^2+v^2} · \left (\frac {\partial}{\partial u} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2))\right ) = 0 [/math]

[math] \vec{e_z} = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0 [/math]

Por lo tanto, el rotacional queda definido de la siguiente forma:

[math] \nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0 [/math]

Debido a que en este campo vectorial, el rotacional es nulo en todos los puntos, se afirma que se trata de un campo irrotacional.

8 Superficies de nivel

8.1 Cómo son estas superficies

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Una superficie de nivel, se define como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). Tal que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas en términos de cartesianas vienen dadas por:

[math]\begin{cases} x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\ x_2 &= uv\\ x_3 &= z \end{cases}[/math]

• Las superficies con \(u\) constante

Partimos de: [math] x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - v^{2}\right), x_2 = cv [/math]

Eliminando [math] v = x_2/c [/math] y sustituyendo en \(x_1\):

[math] x_1 = \frac{1}{2}\left(c^{2} - \frac{x_2^{2}}{c^{2}}\right) [/math]

Dicha ecuación en el plano [math] x_3=cte [/math] describe un a parábola hacia la dirección negativa del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un cilindro parabólico abierto hacia \(-x_1\),-[math]\bar{i}[/math].

• Las superficies con \(v\) constante

Partimos de: [math] x_1 = \frac{1}{2}\left(u^{2} - c^{2}\right), x_2 = uc [/math]

Eliminando [math] u = x_2/c [/math] y sustituyendo en \(x_1\):

[math] x_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{x_2^{2}}{c^{2}} - c^{2}\right) [/math]

Dicha ecuación en el plano [math] x_3=cte [/math] describe un a parábola hacia la dirección positiva del eje \(x_1\). Si dejamos que la \(x_3\) sea libre, el resultado de la superficie es un cilindro parabólico abierto hacia \(x_1\),[math]\bar{i}[/math].

• Las superficies con \(z\) constante

Se trata del plano [math] z=c=x_3 [/math], un plano horizontal paralelo al \((x_1,x_2)\) y con "cota" \(z\), exactamente igual que en coordenadas cartesianas.

8.2 Código MATLAB y representación gráfica

%Superficie f1 

% Parámetros 
c = 1; % u es la constante de nivel 
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre 
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre 

% Construcción de la malla para v y z 
[V, Z] = meshgrid(v, z);  

% Coordenada x y coordenada y (constante en u = c) 
x_1 = (c^2-V.^2) / 2;  
x_2= c * V;  
x_3= Z 

% Gráfico  
figure; 
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente 
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u'); 
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3'); 
colormap winter; % Mejorar los colores 
colorbar; % Añadir barra de colores 
axis equal; 
grid on; 


%Superficie f2 

% Parámetros 
c = 1; % v es la constante de nivel 
u = linspace(0, 2, 50); % u > 0 y es libre 
z = linspace(0, 2, 50); % z es libre 

% Construcción de la malla  
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z 
x_1 = (U.^2 - c^2) / 2; % Coordenada x 
x_2 = U * c; % Coordenada y (constante en v = c) 
x_3 = Z 

% Gráfico  
figure; 
surf(x_1, x_2, x_3, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente 
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v'); 
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); 
colormap winter; % Mejorar los colores 
colorbar; % Añadir barra de colores 
axis equal; 
grid on; 


%Superficie f3

% Definir el rango de valores para x y y 
x_f3 = linspace(-5, 5, 75);  
y_f3 = linspace(-5, 5, 75);  

% Crear malla para el plano 
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);  

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1;  
z_malla = z_const * ones(size(x_malla)); % Crear malla con valor constante de z 

% Graficar la superficie 
figure;  
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente 

% Titulo y etiquetas 
xlabel('x_1');  
ylabel('x_2');  
zlabel('x_3');  
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]);  

% Otros ajustes  
axis equal; 
grid on; 
colormap winter; 
colorbar;

8.3 Superficies regladas

Una superficie reglada está generada por una curva [math]\gamma(t)[/math] llamada directriz, por la que se mueve un vector director [math]\vec{w}(t)[/math] que forma rectas en esa dirección. Cada punto de la superficie pertenece a una recta de la familia de rectas formada. La superficie reglada asociada queda parametrizada por: [math] \Phi(u, v) = \gamma(v) + u·\vec{w}(v), [/math]

A continuación se comprobará si las superficies \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), previamente definidas, son superficies regladas:

• En los casos de \(f_1\) y \(f_2\), que son cilindros parabólicos, sí se tratan de superficies regladas. Esto se aprecia porque a lo largo de la curva [math]\gamma(t)[/math] en forma de parábola (directriz), que está en el plano \((x_1,x_2)\), se mueve el vector director [math]\vec{w}(t)=\vec{k}[/math] formando rectas paralelas al eje del cilindro (eje z) que generan las superficies. Estas superficies regladas quedarían de la siguiente forma:

[math] \gamma_1(t)= (\left( \frac{t^2 - v_0^2}{2}\right), tv_0, 0)[/math] dónde [math] v_0 [/math] se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) [math] \\ \Phi_1(u, v) = \gamma_1(v) + u·\vec{w}(v)= (\left( \frac{v^2 - v_0^2}{2}\right), vv_0, 0) + u(0, 0, 1)= (\left( \frac{v^2 - v_0^2}{2}\right), vv_0, u) [/math] [math] \gamma_2(t)= (\left( \frac{u_0^2 - t^2}{2}\right), tv_0, 0)[/math] dónde [math] u_0 [/math] se mantiene fijo, t varía y z=0 (está en el plano \((x_1,x_2)\)) [math] \\ \Phi_2(u, v) = \gamma_2(v) + u·\vec{w}(v)= (\left( \frac{u_0^2 - v^2}{2}\right), u_0v, 0) + u(0, 0, 1)= (\left( \frac{u_0^2 - v^2}{2}\right), u_0v, u) [/math]

9 .

Código MATLAB y representación gráfica

Figura 13: Parabola.

Ecuación de la parábola

[math] y = -Ax^2 + B [/math] Donde:

• [math]A = 3[/math]
• [math]B = 1[/math]
• [math]x \in [-1, 1][/math]

Ecuación particular

[math] y = -3x^2 + 1 [/math]

Parametrización

[math] \gamma(t) = (t, -3t^2 + 2, 0) [/math] Con: [math]t \in [-1, 1][/math]

Fórmula de la curvatura

[math] k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3} [/math]

Cálculos de las derivadas

1. Primera derivada: [math] \gamma'(t) = (1, -6t, 0) [/math]

2. Segunda derivada: [math] \gamma''(t) = (0, -6, 0) [/math]

Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y [math] \gamma''(t) [/math]

[math] \gamma'(t) \times \gamma''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\ 1 & -6t & 0 \\ 0 & -6 & 0 \end{vmatrix} = (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-6)\mathbf{\vec{k}} [/math]

[math] \gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -6) [/math]

Magnitud del producto cruz

[math] \| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6 [/math]

Magnitud de \( \gamma'(t) \)

[math] \| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-6t)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 36t^2} [/math]

Curvatura

[math] k(t) = \frac{6}{(1 + 36t^2)^{3/2}} [/math]

Evaluación en puntos específicos

1. Para [math]t = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = \frac{6}{37^{3/2}} [/math]

2. Para [math]t = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{6}{(1 + 36)^{3/2}} = \frac{6}{37^{3/2}} [/math]

3. Para [math]t = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{6}{(1)^{3/2}} = 6 [/math]

% Parámetros de la parábola
A = 3;
B = 1;

% Intervalo de x
x = linspace(-1, 1, 200);

% Ecuación de la parábola
y = -A .* x.^2 + B;

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Parábola y = -A x^2 + B con A=3 y B=1')

Se puede apreciar como en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que se ajusta a la perfección con la forma característica de las parábolas. Todo esto se observa mejor visualmente en la figura adjuntada. Se puede concluir de esta forma que los extremos x=1 y x=-1 son los puntos de menor curvatura y el punto x=0 es el de máxima curvatura.

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10 Uso de la parábola en ingeniería

La parábola es una curva que puede definirse de dos maneras equivalentes según el campo de estudio:

> Por un lado, es una sección cónica de excentricidad igual a 1, obtenida al cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono coincide con el ángulo de su generatriz.

> Por otro lado, también puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija denominada directriz.

10.1 ¿Porqué se usa la parábola en la ingeniería?

La parábola se utiliza en ingeniería por su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente, lo que mejora la resistencia y estabilidad de diversas estructuras como puentes, arcos, carreteras y edificios. Su forma permite reducir el uso de materiales, disminuyendo costes sin comprometer la seguridad. Además, es una figura versátil que se adapta a múltiples aplicaciones y aporta un valor estético que complementa el diseño arquitectónico. En conjunto, combina funcionalidad, economía y atractivo visual, convirtiéndose en una herramienta fundamental en el diseño estructural.

10.1 ¿Dónde podemos encontrar la parábola en la obras de ingeniería?

En arquitectura, las formas parabólicas aparecen en cubiertas, cúpulas y fachadas. Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para crear cubiertas delgadas pero muy resistentes, optimizando el uso de material y logrando estructuras de gran ligereza y durabilidad. Asimismo, los arcos parabólicos utilizados en estadios y grandes recintos permiten cubrir amplios espacios con una excelente distribución de cargas, combinando eficiencia y estética. En cúpulas y auditorios, la parábola también contribuye a mejorar la acústica, concentrando las ondas sonoras hacia el interior.

En presas, la geometría parabólica es clave para aumentar la estabilidad. El perfil parabólico distribuye de forma equilibrada la presión del agua, mientras que los vertederos con forma parabólica optimizan el flujo y reducen la erosión. Estas curvas permiten que la estructura resista fuerzas horizontales intensas, como el empuje hidráulico. En el diseño de carreteras, las parábolas se utilizan para generar perfiles verticales suaves, especialmente en terrenos montañosos. Las curvas parabólicas permiten transiciones graduales entre pendientes, mejorando la seguridad, el confort y reduciendo el desgaste de los vehículos. También se emplean en el diseño de rampas y como curvas de transición en tramos críticos de la vía.

En ingeniería estructural, la parábola juega un papel esencial en puentes y arcos. Los cables principales de los puentes colgantes describen una forma cercana a la parabólica, lo que permite distribuir uniformemente las cargas desde el tablero hacia las torres, como en el Puente Golden Gate. Los arcos parabólicos se usan para sostener tableros de puentes o cubiertas, reduciendo material y aumentando la estabilidad, como en el Puente de la Barqueta. En tecnologías de fachadas, las parábolas facilitan diseños paramétricos que controlan la entrada de luz y ventilación natural, creando efectos visuales innovadores como en el Museo de Arte de Milwaukee. Estas geometrías permiten mejorar el confort térmico y la sostenibilidad del edificio.

En ingeniería hidráulica, las formas parabólicas han sido utilizadas desde los acueductos romanos hasta los canales modernos, ya que optimizan el flujo del agua y minimizan pérdidas de energía por fricción, garantizando un transporte eficiente del recurso.

Finalmente, en estructuras antisísmicas, los arcos parabólicos destacan por su capacidad para disipar energía y soportar deformaciones controladas durante terremotos. Este comportamiento permite diseñar edificaciones más seguras y resistentes en zonas sísmicas, protegiendo elementos críticos de la construcción.