Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (Grupo 24)»

Revisión del 14:44 27 nov 2025

1 Introducción.

De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

2 Dibujo de la curva.

La expresión matemática de la clotoide es:

La representación gráfica de la curva:

Figura 1: Clotoide.

clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
 L = 4;       
 n = 500;  
 t = linspace(0, L, n);  

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
 x = zeros(1, n);
 y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
 f1= @(s) cos(s.^2/2);
 f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
    % Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
    x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));
    
    % Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2) 
    y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;

3 Velocidad y aceleración.

Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.

% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2);  % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2);  % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2);  % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2);  % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500  
    % Vectores de velocidad
    quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vectores de aceleración
    quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;

4 Longitud de la curva.

Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión

De módulo:

Con esto, hallamos su longitud:

5 Vectores tangente y normal.

Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:

Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t) 
tx = cos(t.^2/2); 
ty = sin(t.^2/2);  

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2); 
ny = cos(t.^2/2);  

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500  
    % Vector tangente
    quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vector normal
    quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;

6 Curvatura k(t).

La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:

La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab

Figura 4: Curvatura.

% Definimos el parámetro t
 t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
 k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
 figure;
 plot(k,t,'green');
 title('Curvatura');
 xlabel('Eje x');
 ylabel('Eje y');

7 Centro y radio de la circunferencia osculatriz.

La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
Dicho esto y dado P= [math] \gamma (1.5) [/math], es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:

Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:

Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:

Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.

% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')     
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')    
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off

8 Propiedades para la ingeniería.

La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

9 Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.

Dragon Khan.

Salida 11; A-6 direccion M-40.

Circuito de Silverstone.

10 Qué fenómeno describe.

11 Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).

La parametrización en coordenadas cartesianas es:

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)

1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:

2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):

3.Sustituir todos los valores en la formula:

4.Representación con matlab:

Figura 6:Helicode cónico.

clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

 r=MV+MU;
 th=MV;
 z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;

12 Densidad de superficie de la hélice cónica.

Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion