Diferencia entre revisiones de «La Cicloide (Grupo 70)»

Revisión del 14:38 27 nov 2025

La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en el arco circunferencia que rueda sin deslizar sobre una línea recta. Este fenómeno ocurre bajo la condición de rodadura sin deslizamiento, lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos, teóricos y practicos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

[math] \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) [/math], para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

1 Dibujo de la curva

Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:

Figura 1. Representación de la cicloide

% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); 
xlabel('x(t)');

2 Cálculo vectores velocidad y aceleración

La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : [math] \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) [/math]

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas: [math]\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))[/math] y [math]\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))[/math]
A continuación, se representan utilizando MATLAB:

% Parámetros dados
R = 3;                % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t);       % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t);       % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t);       % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); 
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal; 
hold off;

ylabel('y(t)'); title('Curva paramétrica (t)'); grid on; axis equal; }}

3 Cálculo de la longitud de la curva L

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt[/math]

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt[/math]
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:

f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;  
b = 2*pi;  
n = 1000;  
h = (b - a) / n;  %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;  
y = f(x);   
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

4 Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: [math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}[/math]
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: [math]\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}[/math]
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión: [math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}[/math]
Realizando las operaciones: [math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{2-2cos(t)}{\sqrt{cos(t)^{2}-16cos(t)+1}}\overrightarrow{k}[/math]
Así, obtenemos: [math]\overrightarrow{n(t)}=\frac{sen(t)(2cos(t)-2)}{\sqrt{(2-2cos(t))(cos(t)^{2}-16cos(t)+1)}}\overrightarrow{(-i)}+\frac{(2cos(t)-2)(1-cos(t))}{\sqrt{(2-2cos(t))(cos(t)^{2}-16cos(t)+1)}}\overrightarrow{j}[/math]
Y el vector tangente: [math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{1-cos(t)}{\sqrt{2-2cos(t)}}\overrightarrow{i}+\frac{sin(t)}{\sqrt{2-2cos(t)}}\overrightarrow{j}[/math]

% Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20); 

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1);   % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x 
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1));    % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1); 
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);


axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');

5 Curvatura de k(t) y su gráfica

La curvatura k(t) es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma. Esta función viene definida por la expresión: [math]κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}[/math]

t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

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