Diferencia entre revisiones de «Coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 10)»

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Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:
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* '''Línea coordenada''' \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
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x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\
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* '''Línea coordenada''' \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
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x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\
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Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))
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Revisión del 17:55 26 nov 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título Coordenadas cilíndricas parabólicas. Grupo 10
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2025-26
Autores Andrés Sanzo Fernández, María Hernández Gómez, Rebeca Garcia Paz, Alejandro Polo González, Celia Bolivar Illana
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo estudiamos las coordenadas cilíndricas parabólicas, un sistema de coordenadas especialmente útil cuando aparecen geometrías de tipo parabólico en el análisis de campos físicos.
Este tipo de coordenadas permite simplificar la descripción matemática de diversos problemas, especialmente aquellos relacionados con potenciales, distribuciones simétricas o configuraciones donde las parábolas juegan un papel fundamental.

El sistema se construye extendiendo al espacio tridimensional un cambio de coordenadas parabólicas definido originalmente en el plano. Su relación con las coordenadas cartesianas viene dada por:

[math]\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]


1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

  • Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = wv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

  • Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\ x_2 = uw \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

  • Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = w \end{cases} [/math]
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

1.2 Gráficas y códigos MATLAB

Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones

1.2.1 Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones

%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'r', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
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