Revisión del 11:48 26 nov 2025

Se denomina catenaria a la curva de equilibrio que adopta un hilo flexible y de densidad homogénea, al estar sujeto exclusivamente a la acción de un campo gravitatorio uniforme y con sus extremos fijos. En términos más precisos, la catenaria no constituye una curva única, sino una familia de curvas. Además, cada punto de la catenaria cumple con el principio de equilibrio estático para las componentes horizontales de fuerza, resultando en una cadena estable libre de desplazamientos laterales.

Asimismo, Galileo creyó que la catenaria era una parábola por su forma parecida pero ambas curvas son diferentes; pues mientras la parábola está descrita por una ecuación cuadrática, en la expresión de la catenaria se involucran funciones hiperbólicas. Estas son sus fórmulas:

La a de la fórmula de la catenaria indica el radio de curvatura en el vértice de la catenaria, es decir, en el punto más bajo. Como se puede ver en la imagen, la curva va cambiando según cambia la a, en este trabajo se va a usar a=3.

Taq Kasra Irak

1 Dibujo de la curva

Representación de la catenaria

% Definir la parametrización
 t = linspace(-1, 1, 1000);
 x = t;
 y = 3*cosh(t/3);
  % Dibujar la curva
 figure;
 plot(x, y, 'LineWidth', 2,'Color','g');
 title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, 3cosh(t/3))');
 xlabel('x');
 ylabel('y');
 grid on;

2 Vector velocidad y vector aceleración

2.1 ¿Qué representan?

El vector velocidad describe cómo va cambiando la posición del punto que recorre la catenaria indicando la rapidez con la que avanza a lo largo de la curva, siendo más grande en las zonas donde la pendiente es mayor. Por su parte, el vector aceleración muestra cómo varía esa velocidad y apunta hacia arriba porque la función hiperbólica crece con rapidez en ambas direcciones del parámetro t.

2.2 Ecuaciones de velocidad y aceleración

La curva está parametrizada en coordenadas cartesianas como: con A>0 y A=3, la parametrización de la curva es

2.2.1 Ecuación de la velocidad:

2.2.2 Ecuación de la aceleración:

2.3 Grafica velocidad aceleración

Representación velocidad y aceleración

% Definir la parametrización
a=3;
t = linspace(-1, 1, 20);
x = t;
y = a*cosh(t/a);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, a*cosh(t/a))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;

% Velocidad y aceleración 
V1 = ones(size(t));  
V2 = (a/a)*sinh(t/a);
A1 = zeros(size(t));  
A2 = (a/a^2)*cosh(t/a);

% Gráfica 
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "g");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);
% Etiquetas
 title('Gráfica velocidad aceleración')
legend("Catenaria","Velocidad","Aceleración")
 axis("equal")