Diferencia entre revisiones de «Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)»
(→Campo de velocidad de las partículas) |
(→Campo de velocidad de las partículas) |
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| Línea 114: | Línea 114: | ||
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Resolviendo a coordenadas cartesianas: | Resolviendo a coordenadas cartesianas: | ||
| − | <center><math> \vec u=\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta) | + | <center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center> |
Revisión del 12:29 25 nov 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 68 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Nicolás Rus Pérez, Jeremy García Herrera, Antonio Rodriguez Montes, Franco Luis Santillan, Juan Jose Salhua Palma. |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Un fluido es un medio contínuo deformable con la propiedad de que no transmite tensiónes tangenciales. Estos no tienen una forma definida y por tanto adoptan la forma del recipiente en el que se encuentran, y pueden encontrarse tanto en estado líquido (agua) como gaseoso (aire).
En este trabajo se estudiará el flujo de un fluido alrededor de un obstáculo circular considerando a este un fluido incompresible. Esta propiedad indica que el fluido no disminuye su volumen al serle aplicado una fuerza, y es propia de los fluidos en estado líquido.
Por conveniencia se trabajará en coordenadas con base cilíndrica (polares).
1 Mallado
Se genera a continuación un mallado en el que se representan los puntos interiores a la región ocupada por el fluido. Por convenio se representará el obstáculo circular centrado en el origen de coordenadas y con radio 1. De esta forma la región ocupada por el fluido será todo el exterior de la circunferencia unidad.
El objetivo de realizar este mallado es dividir el medio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños denominados elementos finitos. El conjunto de estos elementos forman el mallado que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas particulares en cada uno de ellos.
Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo [math][-4,4]×[-4,4][/math].
r=linspace(1,5,50); %Definen el rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);
[R,A]=meshgrid(r,a); %Genera el mallado
hold on
X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);
Z=0.*R;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibuja la región
plot(cos(a),sin(a),'k','lineWidth',1); %Dibuja el obstáculo
axis([-4 4,-4 4]); %Se fijan los ejes
title ('Regíon Fluido'); %Definen los ejes y el nombre de la gráfica
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
hold off
2 Campo de velocidad de las partículas
Una vez definido el mallado de trabajo del fluido y el obstáculo, se procede a calcular las velocidades de las partículas del fluido en los distintos puntos de la región ocupada por el fluido incompresible. Partimos sabiendo que el campo de velocidades viene definido por el gradiente de la siguiente función potencial:
A continuación se representa graficamente la función potencial:
r=linspace(1,5,30); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,30);
[R,A]=meshgrid(r,a); %CGenra el mallado
hold on
X=R.*cos(A); %Parametrización la superficie
Y=R.*sin(A);
f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a)-a; %Define la función potencial
Z=f(R,A);
surf(X,Y,Z); %Representa la función
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',3); %Representa el obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de colores, define el titulo de la gráfica y los ejes
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
hold offPara calcular el campo de velocidades de las partículas del fluido es necesario el campo gradiente de la funcion potencial anterior, y dicho gradiente viene definido por la siguiente expresión:
Aplicando dicha expresión a la función potencial, el gradiente resultante sera:
Dado que la representación en MATLAB se realiza en coordenadas cartesianas [math](\vec i,\vec j,\vec k)[/math], y el gradiente calculado se encuentra en coordenadas ciliíndricas [math](\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)[/math] ,debemos de pasar el gradiente de la función potencial a las primeras. Esto es posible gracias a la matriz de cambio de base entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, por lo que la multiplicamos por el vector gradiente dado [math](\vec u)[/math] en coordenadas cilíndricas.
Matriz de cambio de base de coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas:
\begin{pmatrix} \vec i\\ \vec j\\ \vec k\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -sen \theta & 0\\ sen \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \vec e_\rho\\ \vec e_\theta\\ \vec e_z\\ \end{pmatrix}
Por lo que:
\begin{pmatrix} \vec i\\ \vec j\\ \vec k\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -sen \theta & 0\\ sen \theta & \cos \theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)\\ -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)\\ 0\\ \end{pmatrix}
Resolviendo a coordenadas cartesianas:
