Diferencia entre revisiones de «Circuitos eléctricos RL (Resistencia-Inductancia)»

Revisión del 10:53 26 feb 2014

1 Circuito eléctrico RL

El circuito eléctrico RL más simple tiene un inductor o bobina, una resistencia y una fuente de alimentación.

• En una resistencia R, la ley de Ohm establece:: [math]i(t) = \frac{v(t)}{R}[/math]

donde

[math] i(t) [/math] = intesidad de corriente ([math]A[/math])

[math] v(t) [/math] = voltaje ([math]V[/math])

[math] R [/math] = coeficiente de resistencia ([math]Ω[/math])

• En un inductor L, la ley de Faraday establece:: [math]v(t) = L\frac{d}{d_t}i(t)=L\cdot i'(t)[/math]

donde

[math] L [/math] = coeficiente de autoinducción ([math]H[/math])

Las leyes de Kirchoff establecen el comportamiento de los circuitos:

1. Ley de corriente: en cada nodo la suma de corrientes que entra coincide con la suma de corrientes que sale.
2. Ley de tensiones: en cada ciclo cerrado, la suma de las diferencias de potencial eléctrico es nula.

2 Ley de Kirchoff

Circuito simple (malla 1)

Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun [math] "la ley de tensiones de Kirchoff" [/math] será la suma del voltaje que hay en la resistencia (intensidad por resistencia) y el que hay en la bobina (resistencia de la bobina por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo). En un circuito RL cerrado, aplicando las leyes de Kirchoff, nos da la siguiente ecuación diferencial::

[math] i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 [/math]

2.1 Método analítico

En el instante t=0, el circuito esta abierto, por lo que la intensidad que circula es nula ([math] i_0(t)=0 [/math]). En el momento en el que t>0, el circuito adquiere una intensidad, que con las condiciones:

 [math] V(t)=20V [/math] 

 [math] L=0.2 [/math] 

 [math]R=5Ω [/math] 

hará que la ecuacion diferencial sea:

[math] i(t)= \frac{V}{R} - \frac{V}{R} e^{(-\frac{R}{L})t} = 4-4e^{-25t} [/math]

con la gráfica:

t=[0:0.0001:1];
i=4-4*exp(-25*t); 
figure(1)
plot(t,i,'-b','linewidth',5)
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Intensidad en amperios');

Ecuación

Si observamos con detenimiento la gráfica, vemos que la variación de la intesidad sigue una ley exponencial que ha medida que pasa el tiempo, crece de manera muy rápida, debido a que en la malla empieza a circular una corriente de manera prácticamente instantánea una vez cerramos el circuito. Por otro lado, vemos que el intervalo de tiempo en el que la intensidad pasa de 0 a 4 amperios es muy pequeño.

2.2 Euler

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo h y observando que por este método la h, es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
Con la gráfica:

V=20;
R=5;
L=0.2;
t0=0; 
tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[V/L+(-R/L)*ii];
i(n+1)=ii;
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
plot(t,i,'-r','linewidth',5)
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Intensidad en amperios');

Ecuación

3 Método del trapecio

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
Con la gráfica:

V=20;
R=5;
L=0.2;
t0=0; 
tN=1;
N=1/0.0000001; 
h=(1-0)/N;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
    tn=t0+h*n;
    t(n+1)= tn+h;
    ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*V/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
    i(n+1)=ii;
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
plot(t,i,'-y','linewidth',5)
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Intensidad en amperios');

Ecuación