Diferencia entre revisiones de «Modelos de mezclas (Grupo 20)»
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==Enunciado de nuestro problema== | ==Enunciado de nuestro problema== | ||
Modelos de mezclas. Dos pantanos A y B con 100Hm3 de agua cada uno están unidos por | Modelos de mezclas. Dos pantanos A y B con 100Hm3 de agua cada uno están unidos por | ||
| − | una presa que deja pasar agua de A a B. El pantano A recibe 3Hm3 | + | una presa que deja pasar agua de A a B. El pantano A recibe 3Hm3/día de agua limpia proveniente |
| − | de | + | de ríos y el B 1:5Hm3/día. Para mantener el nivel de los pantanos estable la presa de A a B deja |
| − | pasar una media de 3Hm3 | + | pasar una media de 3Hm3/día mientras que la presa al final de B desaloja 4:5Hm3=día. Se produce |
| − | un vertido | + | un vertido tóxico en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante. Supongamos que |
| − | se dan las siguientes | + | se dan las siguientes hipótesis: |
| − | 1. El contaminante | + | 1. El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos; |
| − | 2. Al entrar o salir agua en un pantano, | + | 2. Al entrar o salir agua en un pantano, esta se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata |
| − | creando una mezcla | + | creando una mezcla homogénea. |
| − | 3. La | + | 3. La variación de contaminante en un lago es la diferencia entre el contaminante que entra y sale |
en el lago, es decir si denotamos por xA(t) la cantidad de contaminante en el lago A, se tiene | en el lago, es decir si denotamos por xA(t) la cantidad de contaminante en el lago A, se tiene | ||
dxA | dxA | ||
dt | dt | ||
| − | = velocidad de entrada | + | = velocidad de entrada -velocidad de salida |
Se pide: | Se pide: | ||
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== Primer apartado == | == Primer apartado == | ||
Revisión del 22:01 3 mar 2013
Este árticulo muestra la resolución en español del trabajo número cinco llevado a cabo por el grupo 20. El problema consiste en un modelo de mezclas, en el que intervienen dos embalses de agua limpia y una cierta cantidad de contaminante tóxico.
Contenido
1 Enunciado de nuestro problema
Modelos de mezclas. Dos pantanos A y B con 100Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B. El pantano A recibe 3Hm3/día de agua limpia proveniente de ríos y el B 1:5Hm3/día. Para mantener el nivel de los pantanos estable la presa de A a B deja pasar una media de 3Hm3/día mientras que la presa al final de B desaloja 4:5Hm3=día. Se produce un vertido tóxico en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante. Supongamos que se dan las siguientes hipótesis: 1. El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos; 2. Al entrar o salir agua en un pantano, esta se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando una mezcla homogénea. 3. La variación de contaminante en un lago es la diferencia entre el contaminante que entra y sale en el lago, es decir si denotamos por xA(t) la cantidad de contaminante en el lago A, se tiene dxA dt = velocidad de entrada -velocidad de salida Se pide:
2 Primer apartado
1. Calcular el sistema de ecuaciones diferenciales para las cantidades de contaminantes en los lagos
xA y xB de acuerdo a las hip�otesis. >C�omo cambiar��a el sistema de ecuaciones si hubiese un
tercer pantano unido a B por una segunda presa que soltara 6Hm3=d��a recibiendo 1; 5Hm3=d��a
de agua l��mpia de r��os?
Planteamos el sistemas de ecuaciones respetando las hipótesis iniciales:
Ahora supioniendo que tenemos el tercer pantano, el sistema sería similar:
3 Segundo apartado
2. Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1Hm3=d��a de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos. Escribir el nuevo sistema de ecuaciones.
El plan de limpieza modifica el sistema de ecuaciones a
4 Tercer apartado
3. Resolver ambos sistemas por un método de Euler y comparar los resultados. ¿Cuál es la diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza? >Y la tercera parte?
Ahora utilizamos el método de Euler para resolver nuestros dos sistemas ( el inicial y el del plan de limpieza):
Pasado a código Matlab sería así:
Sin plan de limpieza:
%Definiciones
t0=0; tN=300; %Extremos del intervalo a estudiar
x0=[20 0]'; %Valores iniciales (para t=0)
N=10000; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
v=100; %Volumen de los lagos A y B
A=[-3/v,0;3/v,-4.5/v]; %Matriz con los coeficientes que multiplicarán a xa y xb
x=x0; %Asignación de los valores iniciales a la primera columna de la matriz solución
xa(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xb(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xa(n+1)=x(1); %Guardamos la solución como segunda columna de xa
xb(n+1)=x(2); %Guardamos la solución como segunda columna de xb
end
x=t0:h:tN; %Vector de subintervalos de tiempo
%Dibujo
plot(x,[xa;xb],'.') %Cantidad de contaminante en los lagos A y B en función del tiempo
title('Cantidad de contaminante en A y B en función del tiempo');
xlabel('t(días)');
ylabel('cantidad de contaminante (Hm^3)');
Con plan de limpieza
%Definiciones
t0=0; tN=300; %Extremos del intervalo a estudiar
x0=[20 0]'; %Valores iniciales (para t=0)
N=10000; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
v=100; %Volumen de los lagos A y B
A=[-4/v,1/v;4/v,-4.5/v]; %Matriz con los coeficientes que multiplicarán a xa y xb
x=x0; %Asignación de los valores iniciales a la primera columna de la matriz solución
xa(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xb(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xa(n+1)=x(1); %Guardamos la solución como segunda columna de xa
xb(n+1)=x(2); %Guardamos la solución como segunda columna de xb
end
x=t0:h:tN; %Vector de subintervalos de tiempo
%Dibujo
plot(x,[xa;xb],'.') %Cantidad de contaminante en los lagos A y B en función del tiempo
title('Cantidad de contaminante en A y B en función del tiempo');
xlabel('t(días)');
ylabel('cantidad de contaminante (Hm^3)');
5 Cuarto apartado
4. Usar el método de Runge-Kutta de cuarto orden para resolver ambos sistemas. Comparar con el método de Euler para diferentes tiempos.
%%programa: apartado41
%Definiciones
t0=0; tN=200; %Extremos del intervalo a estudiar
x0=[20 0]'; %Valores iniciales (para t=0)
N=10000; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
v=100; %Volumen de los lagos A y B
A=[-3/v,0;3/v,-4.5/v]; %Volumen de los lagos A y B
x=x0; %Asignación de los valores iniciales a la primera columna de la matriz solución
xa(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xb(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
k1 = A*x;
k2 = A*(x+0.5*h*k1);
k3 = A*(x+0.5*h*k2);
k4 = A*(x+h*k3);
x = x + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);
xa(n+1)=x(1);
xb(n+1)=x(2);
end
x=t0:h:tN; %Vector de subintervalos de tiempo
%Dibujo
plot(x,[xa;xb],'.') %Cantidad de contaminante en los lagos A y B en función del tiempo
title('Cantidad de contaminante en A y B en función del tiempo');
xlabel('t(días)');
ylabel('cantidad de contaminante (Hm^3)');
%%programa: apartado42
%Definiciones
t0=0; tN=200; %Extremos del intervalo a estudiar
x0=[20 0]'; %Valores iniciales (para t=0)
N=10000; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
v=100; %Volumen de los lagos A y B
A=[-4/v,1/v;4/v,-4.5/v]; %Volumen de los lagos A y B
x=x0; %Asignación de los valores iniciales a la primera columna de la matriz solución
xa(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xb(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
k1 = A*x;
k2 = A*(x+0.5*h*k1);
k3 = A*(x+0.5*h*k2);
k4 = A*(x+h*k3);
x = x + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);
xa(n+1)=x(1);
xb(n+1)=x(2);
end
x=t0:h:tN; %Vector de subintervalos de tiempo
%Dibujo
plot(x,[xa;xb],'.') %Cantidad de contaminante en los lagos A y B en función del tiempo
title('Cantidad de contaminante en A y B en función del tiempo');
xlabel('t(días)');
ylabel('cantidad de contaminante (Hm^3)');t0=0; tN=200;
6 Quinto apartado
5. Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos que tras unos d��as se redujo el contaminante a s�olo una tonelada en A y dos en B. >Cuanto contaminante se estima que se verti�o inicialmente?
