Revisión del 11:30 17 mar 2025

1 Introducción Y Enfoque

alfa 0.1

alfa 0.5

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos como los siguientes:

• [math]\textbf{Gestión térmica en electrónica:}[/math] permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos.
• [math]\textbf{Climatología:}[/math] estudia la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos.
• [math]\textbf{Biología:}[/math] describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En este caso, se planteará el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas. Se modelizarán distintas situaciones, dadas unas condiciones de tipo Dirichlet e inicial fijadas, como usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) o aplicar calor en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

2 Ecuación Del Calor

La ecuación del calor se deriva de la

• [math] \textbf{Ley de Fourier:} [/math]

• [math] \textbf{Principio de Conservación de la Energía:} [/math]

Consideremos la ecuación del calor en una varilla metálica en una dimensión con

• [math] \textbf{Condiciones de Dirichlet:} [/math] establece valores fijos de temperatura en los extremos.
• [math] \textbf{Condición inicial:} [/math] define la temperatura en [math] t = 0 [/math].

[math] \begin{cases} u_t - \alpha u_{xx} = f(x), & x \in [0,L], \quad t \gt 0 \\ u(0,t) = u_0, & t \gt 0 \\ u(L,t) = u_L, & t \gt 0 \\ u(x,0) = g(x), & x \in [0,L] \end{cases} [/math]

Donde [math] u(x,t) [/math] representa la temperatura en función del tiempo y la posición; [math] \alpha = \frac{\kappa}{Q\rho} [/math] es la difusividad térmica del material que se expresa en términos de la conductividad térmica ([math] \kappa [/math]), la densidad del material ([math] \rho [/math]) y el calor específico ([math] Q [/math]); y [math] f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x) [/math] donde [math] \omega [/math] representa la producción de energía externa.

3 --

Consideremos la ecuación del calor en una dimensión:

[math] \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\kappa}{Q\rho} \Delta u = \frac{1}{Q}f, \quad x \in (0,L), \quad t \gt 0, [/math]

donde [math] u(x,t) [/math] representa la temperatura en función del tiempo y la posición, y [math] \frac{\kappa}{Q\rho} [/math] es la difusividad térmica del material que se expresa en términos de la conductividad térmica ([math] \kappa [/math]), la densidad del material ([math] \rho [/math]) y el calor específico ([math] Q [/math]).

Las [math] \textbf{condiciones de Dirichlet} [/math] establecen valores fijos de temperatura en los extremos:

[math] u(0,t) = T_0, \quad u(L,t) = T_L, \quad t \gt 0. [/math]

Además, necesitamos una [math] \textbf{condición inicial} [/math] que defina la temperatura en [math] t = 0: [/math]

[math] u(x,0) = f(x), \quad x \in (0,L). [/math]

4 --

La ecuación del calor se deriva de la [math] \textbf{ley de Fourier} [/math] y el [math] \textbf{principio de conservación de la energía} [/math]. Deduzcamosla paso a paso.

4.1 --

La Ley de Fourier establece que el flujo de calor [math] (\vec{q}) [/math] es proporcional al gradiente de temperatura:

4.2 --

La tasa de variación de la energía de un volumen [math] V [/math] de longitud infinitesimal en una barra es igual al balance neto de la energía que fluye por su frontera [math] \partial V [/math] junto con la producción por fuerzas externas que pueden aparecen por reacciones químicas.

4.3 --

5 COSAS DE GONZALO

6 Planteamiento del sistema de EDP con condiciones Dirichlet en 1D

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es constante respecto del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

[math] u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x) [/math]

donde: \( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier. \( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos: [math] \alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x) [/math] donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

[math] \begin{cases} u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t \gt 0 \\ u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\ u(0,t) = u_1, & t \gt 0 \\ u(L,t) = u_2, & t \gt 0 \end{cases} [/math]

7 Resolvamos la ecuación aplicando separación de variables

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

[math] v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x) [/math]

Integrando dos veces:

[math] v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2 [/math]

Imponiendo las condiciones de contorno:

[math] \begin{cases} v(0) = u_1 \\ v(L) = u_2 \end{cases} [/math]

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

[math] w_t - \alpha w_{xx} = 0 [/math] con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

[math] w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t} [/math]

Donde los coeficientes \( c_n \) los obtenemos al imponer que:

[math] w(x,0) = u_0 - v(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) [/math]

Realizando la extensión impar de \( u_0 - v(x) \) al intervalo \([-L, L]\) y hallando sus coeficientes en la serie de Fourier:

[math] c_n = \int_{-L}^{L} (u_0 - v(x)) \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha} n\pi}{L} x \right) dx [/math]

Finalmente nos acordamos de que u(x,t)=w(x,t)+v(x)

8 Modelización de fenómenos

Al resolver el sistema de forma genérica, no podemos representarlo gráficamente. Es por ello que vamos a fijar valores a algunas variables:

[math] L = 1, \quad \rho = 1, \quad Q = 1, \quad u_0 = 10, \quad u_1 = 1, \quad u_2 = 10 [/math]

De modo que quedan como variables \( K \) y \( \omega(x) \). Además, observamos que:

[math] \alpha = K, \quad f(x) = \omega(x) [/math]

a si que los variaremos para modelizar distintas situaciones. (EN ESTOS MODELOS EXPLICARÍA A QUE FENÓMENO FÍSICO SE PODRÍAN ATRIBUIR Y PONDRÍA LAS SIMULACIONES, NADA MÁS)(PONER EL CÓDIGO DE TODO TAMBIÉN)

8.1 Modelo 1

(En este dejaría alpha=1, y f=0 para que coincida con el problema original)

8.2 Modelo 2

(en este dejaría f= 0 y haría alpha=1/2 y así compararla con el anterior para resolver el ejercicio 6)

8.3 Modelo 3

(En este usaría una función f que sea una indicatriz que en un entorno de x=1/3 valga 25 y en un entorno de x=2/3 valga 15, de modo que fisícamente es como si estuviera en contacto en dichos puntos con barras de metal a esas temperaturas (podríamos hacer que una de esas barras estuviera a temperatura negativa a ver que pasa) (podríamos hacer para 2 alphas distintas))

8.4 Modelo 4

(Si que podemos usar una parábola también como función, pues en el caso de la vela la trasmisión de calor se hace por el aire, por lo que si que se transmite calor a toda a barra pero en el centro donde pongas la vela en más medida (debería de ser apuntada))